บทที่ 2เอกสารที่เกี่ยวข้อง ในการศึก

บทที่ 2
เอกสารที่เกี่ยวข้อง

ในการศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง “รากอนันต์ถอดได้ ง่ายนิดเดียว” ผู้จัดทำได้ศึกษาและรวบรวมแนวคิดต่างๆ จากเอกสารที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหาของโครงงาน ดังต่อไปนี้
1. สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง
1.1 หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 1.2 การพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
1.3 สมบัติของเลขยกกำลัง 1.4 รากที่ n
1.5 รากอนันต์ 1.6 สมการพหุนาม
1.7 ลำดับและอนุกรม
2. ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
1. สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง
1.1 หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
ในการศึกษาคณิตศาสตร์นั้น บางครั้ง จะพบแบบรูปที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็ม เช่น จากการสังเกตผลบวกของจำนวนคี่
1 = 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32

แล้วทำนายแบบรูปทั่วไปว่า 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 ซึ่งเราจะเรียกข้อความนี้ว่าข้อความคาดการณ์ (Conjecture) เราไม่สามารถทราบได้ว่า รูปแบบที่เราได้กำหนดมาเป็นจริงหรือเท็จ หากเราตรวจสอบโดย การแทนจำนวนเต็มเข้าไปทั้งหมดจะไม่สามารถทำได้ เพราะอาจมีกรณีใดกรณีหนึ่งที่ทำให้ข้อความคาดการณ์นี้เป็นเท็จซึ่งเราจะต้องเสียเวลาในการแทนค่า กว่าที่จะหากรณีที่จะให้เป็นเท็จได้ ซึ่งเราจะใช้หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ เป็นสัจพจน์ของเอปาโน (Peano Postulates) ข้อที่ 5 ซึ่งกล่าวว่า
ถ้า S เป็นเซตย่อยใด ๆ ของเซตของจำนวนนับ ซึ่งมีสมบัติดังนี้
1. 1 S 2.
1.2 การพิสูจน์โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
นิยาม กำหนดให้ N เป็นจำนวนเต็มบวก สำหรับ n∈ N และ P(n) เป็นข้อความในพจน์ของ n
P (1) เป็นจริง
ถ้า P (k) เป็นจริงแล้ว P (k+1) เป็นจริง แล้ว P(n) เป็นจริงทุกค่า n ∈ N
ในการพิสูจน์ข้อความ : สำหรับจำนวนนับ n ใดๆ P(n) เป็นจริง ซึ่งเขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์
เมื่อ P(n) คือ ข้อความที่เกี่ยวกับ n และ N แทนเซตของจำนวนนับ นั่นคือ N = { 1 , 2 , 3 , … }
สรุปได้ว่าการพิสูจน์ข้อความในแบบ โดยใช้หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เราจะต้องแสดง 2 ขั้นตอน คือ
1. แสดงว่า P (1) เป็นจริง (ขั้นตอนนี้เรียกว่า ขั้นฐานหลัก (basic step)
2. แสดงว่า เป็นจริง (ขั้นตอนนี้เรียกว่าขั้นตอนอุปนัย) (induction step)
ตัวอย่างที่ 1 จงใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ว่า 1 + 2 + 3 + … + n = สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ
วิธีทำ ให้ P (n) แทนข้อความ 1 + 2 + 3 + … + n = …… (1)
จะแสดงว่า P (1) เป็นจริง 1 =
1 = 1
เพราะฉะนั้น P (1) เป็นจริง
จะพิสูจน์ว่าถ้า P (k) เป็นจริงแล้ว P (k+1) จะเป็นจริงด้วย
ให้ P (k) เป็นจริง 1+2+3+ …+ k = ...…. (2)
จะแสดงว่า P (k+1) เป็นจริงนั่น คือ
1+2+3+ …+ k + (k+1) =
จาก (2) บวกด้วย (k+1) ทั้งสองข้างจะได้ว่า
1+2+3+ …+ k + (k+1) = + (k+1)
=
=
ดังนั้น ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) เป็นจริงด้วยจาก (1) และ (2) โดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
สรุปได้ว่า P(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก
หมายเหตุ (1) เรียกว่า ขั้นตอนฐานหลักและ (2) เรียกว่า ขั้นตอนอุปนัย
สรุปจากขั้นที่ 1 เราทราบว่า ข้อความคาดการณ์นี้เป็นจริง สำหรับค่า n = 1 และ จากขั้นที่ 2 เราทราบว่าต่อไปอีกว่า ถ้าข้อความคาดการณ์นี้จะเป็นจริง สำหรับค่า n = 1 + 1 = 2 ด้วย ทำนองเดียวกัน ก็จะเป็นจริงสำหรับ n = 2 + 1 = 3
และไปเรื่อยๆ นั่นคือ ถ้าขั้นตอน P(k + 1) เป็นเท็จ จะทำให้ข้อความอื่นๆ เท็จตามไปด้วย

1.3 สมบัติของเลขยกกำลัง
เลขยกกำลัง คือ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่งเขียนอยู่ในรูป ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวน คือ ฐาน a และเลขชี้กำลัง (หรือกำลัง) n การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำๆ กัน คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก เช่น


n ตัว
โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงเป็นตัวยกอยู่ด้านขวาของฐานจำนวน an อ่านว่า a ยกกำลัง n



ถ้า a เป็นจำนวนใด ๆ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว
1. (am)(an) = am + n 2. (am)n = amn
3. = am – n
4. a0 = 1
5. a-m =
6. (ab)n = anbn
1.4 รากที่ n
บทนิยาม ถ้า a และ x เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ที่มีค่ามากกว่า 1 และ x จะเป็น
รากที่ n ของ a ก็ต่อเมื่อ xn = a
จำนวนจริงที่เป็นรากที่ n ของ a อาจจะมีได้หลายค่า แต่จะมีจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง ซึ่งเราเรียกว่า จำนวนจริงหลักของรากที่ n ของ a และเขียนด้วยสัญลักษณ์
ถ้า a เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 แล้ว จะมีความหมาย ดังนี้
ตารางที่ 1 ตารางแสดงการหาค่ารากที่ n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ
n a > 0 a < 0 a = 0
จำนวนคู่ คือ รากที่ n
ที่เป็นบวกของ a ไม่เป็นจำนวนจริง
= 0

จำนวนคี่ คือ รากที่ n
ที่เป็นบวกของ a คือ รากที่ n
ที่เป็นลบของ a = 0


คือ รากที่ n ที่เป็นบวกของ a อ่านว่า กรณฑ์ที่ n ของ a หรือ ค่าหลักของ รากที่ n ของ a และเครื่องหมาย เรียกว่า เครื่องหมายกรณฑ์ เรียก n ว่า ลำดับหรือดัชนีของ กรณฑ์
ถ้า n เท่ากับสอง แล้วเขียน แทน

1.5 รากอนันต์
รากอนันต์มีลักษณะเป็นการติดค่ารากซ้อนกันไปแบบไม่รู้จบ รูปแบบของโจทย์ที่เป็นรากอนันต์ มี ดังนี้
รูปแบบที่ 1 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 2 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 3 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 4 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 5 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 6 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 7 การหารากอนันต์ในรูปแบบของสมการ
รูปแบบที่ 8 การหารากอนันต์ในรูปแบบของสมการ


1.6 สมการพหุนาม (Polynomial Equations)
พหุนาม คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปเอกนามหรือผลบวกของเอกนามตั้งแต่ 2 เอกนามขึ้นไป สำหรับสมการพหุนามกำลังสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้ สามารถใช้สูตรได้ดังนี้
สมมติว่าโจทย์ คือ ax2 + bx + c = 0 คำตอบของสมการคือ
ตัวอย่าง จงแก้สมการพหุนาม x2 + 10x + 6 = 0
วิธีทำ จากสูตร
พบว่า a = 1 , b = 1 , c = 6



x
ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ และ
1.7 ลำดับและอนุกรม
ลำดับ (Sequence) นิยามของลำดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรก ซึ่งเรียกว่า ลำดับจำกัด ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก เรียกว่า ลำดับอนันต์
ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) ถ้า a1 , a2 , a3 , …, an , an + 1 เป็นจำนวนจริงที่เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตแล้ว จะมีสมบัติว่า a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an+1 – an = d เมื่อ d เป็นค่าคงตัว เรียก d ว่า “ผลต่างร่วม” พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต an = a1 + (n

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 1:

Chapter 2The relevant documents. In studying math project regarding "the infinite root removal easy." she can study and gather ideas from various documents that are related to the content of the project. In the following ways: 1. the essence of learning mathematics involved.1.1. mathematical upnai upnai 1.2 a mathematical proof1.3 properties of n 1.4 square root exponentiation1.5 1.6 infinite polynomial equation roots.1.7 the sequence and series. 2. skills and mathematical processes.1. the essence of learning mathematics involved.1.1. mathematical upnai In math education, so sometimes you will find a picture related to an integer, for example, observed the sum of odd numbers. 1 = 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 And then predict the General image that 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 where we will get the message that the conjecture (Conjecture), we cannot tell whether we have given is true or false. If we check by replacing all the integers will not be able to do it because there might be one that makes this conjecture is false, we will have to waste time in substitution. Than to find a case that is false. We will use principles of mathematical upnai. Principles of mathematical axioms, as upnai of a Spa Hotel (Peano Postulates) 5 where it says. If S is a subset of any set of cardinality which contains the following properties. 1. 1 S 2. 1.2 proof by mathematical upnai The definition requires that N is a positive integer. For n ∈ N and P (n) is a text in terms of n. P (1) is true. If P (k) is true, then P (k + 1) is true, then P (n) is true every n ∈ N. Proof text: for any n count P (n) is true, which is written as a symbol. If P (n) is the message about n & N instead of N, that is, the set count = {1, 2, 3, ...} Conclude that proof-text using the method of mathematical upnai, we will need to show the steps 2. 1. แสดงว่า P (1) เป็นจริง (ขั้นตอนนี้เรียกว่า ขั้นฐานหลัก (basic step) 2. แสดงว่า เป็นจริง (ขั้นตอนนี้เรียกว่าขั้นตอนอุปนัย) (induction step)ตัวอย่างที่ 1 จงใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ว่า 1 + 2 + 3 + … + n = สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ วิธีทำ ให้ P (n) แทนข้อความ 1 + 2 + 3 + … + n = …… (1) จะแสดงว่า P (1) เป็นจริง 1 = 1 = 1 เพราะฉะนั้น P (1) เป็นจริง จะพิสูจน์ว่าถ้า P (k) เป็นจริงแล้ว P (k+1) จะเป็นจริงด้วย ให้ P (k) เป็นจริง 1+2+3+ …+ k = ...…. (2) จะแสดงว่า P (k+1) เป็นจริงนั่น คือ 1+2+3+ …+ k + (k+1) = จาก (2) บวกด้วย (k+1) ทั้งสองข้างจะได้ว่า 1+2+3+ …+ k + (k+1) = + (k+1) = = ดังนั้น ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) เป็นจริงด้วยจาก (1) และ (2) โดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ Conclude that P (n) is true for all positive integers. Note: (1) the main base called the step and (2) is called the upnai step. Summary of step 1, we know that this conjecture is true. For example, for n = 1 and from step 2 we know further that if this conjecture is true. For example, for n = 1 + 1 = 2, it is similarly true for n = 2 + 1 = 3. And so on, that is, if the procedure P (k + 1) is set to false will cause the text to other false accordingly.1.3 properties of the number raised to a power.Exponentiation is a mathematical operation, written as, which is a base amount consists of two and exponents (or) n. Exponentiation is repeated multiplication of meaning is a common factor is the number of n when n is a positive integer. N Normally exponents are displayed as a superscript to the right of the base of an exponentiation a pronounced n. If a is any amount of m and n is a positive integer, then.1. (am)(an) = am + n 2. (am)n = amn 3. = am – n 4. a0 = 15. a-m = 6. (ab)n = anbn1.4 the roots nChapter definitions. If a and x is a real number and n is a positive integer that is greater than 1, and x is. The square root of n xn = a if a. A real number that is a root of n may have multiple values, but it will have a number of real numbers, which we called the main root of a real number n of a, and writing with symbols. If a is a real number and n is a positive integer that is greater than 1, then there will be the following.Table 1 shows the table to find the nth root when n is a positive integer.n a > 0 a < 0 a = 0 The number of pairs is the root n. That's not a positive real number. = 0Odd number is the nth root. The positive square root of a is n. The negative of a = 0 Is the nth root of a positive reading that kron that n of a, or the value of the square root of n, and a mark called mark kron n call that kron's index or sequence. If n is equal to two and then write instead. 1.5 infinite rootsInfinite roots are similar to nested root value is to the endlessly. The format of the solution is infinite roots. Are as follows:1 format for infinite root of 2 formats to find the root of infinity. 3 models to find the root of infinity. 4 models for infinite root of 5 models to find the root of infinity. 6 format to find the root of infinity. 7. models for infinite roots in the form of the equation. 8 styles to find the root of infinity in the form of the equation. Polynomial equations 1.6 (Polynomial Equations) A polynomial is an expression that can be written as a sum of monomial monomial or from 2 or more monomial. For polynomial equations in factored squares do not. The formula can be used as follows: Suppose the problem is ax2 + bx + c = 0, the equation is the answer. Example equation solving be polynomial x2 + 10x + 6 = 0. How to make the recipe. I found that a = 1, b = 1, c = 6. x Therefore, the answer to the equation, and 1.7 the sequence and series.Sequence (Sequence) of a sequence is a function definition with the domain set of positive integers. The first n which is called limited series. Set domain containing sequences of positive integers. Also known as infinite series. ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) ถ้า a1 , a2 , a3 , …, an , an + 1 เป็นจำนวนจริงที่เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตแล้ว จะมีสมบัติว่า a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an+1 – an = d เมื่อ d เป็นค่าคงตัว เรียก d ว่า “ผลต่างร่วม” พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต an = a1 + (n

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 3:

Chapter 2


in relevant documents study mathematics project on "infinite roots removable easy it" organizer study and collect concepts. From the documents related to the content of the project the following
1.Learning mathematics related
1.1 principle of mathematical induction 1.2 proved a อุปนัยเชิง mathematics
1.3 properties of exponential 1.4 roots. N
1.5 root 1.6 polynomial equation infinite sequences and series 2 1.7

.Mathematical skills and processes, 1
. Learning mathematics related
1.1. The principle of mathematical induction
in mathematics education. Sometimes will find patterns associated with integers, such as from observing the sum of odd number
.1 = 1 = 12
1 3 = 4 = 22
1 3 5 = 9 = 32

.Then the predicted patterns that 1 3 5... (2n - 1) = N2, which we will call this message that Euler (Conjecture), we can't know that We have given a true or false. If we check by.Because there may be a case of any one case that this conjecture is false, which will waste time in representation. To find the case to be false. We will use the principle of mathematical induction
.The principle of mathematical induction is the axiom of a PA Noh (Peano Postulates) Article 5 which said
if S is a subset of any set of number The treasure:
1. 1 S 2.
1.2 proof by mathematical induction
.According to the definition N is a positive integer, for N and ∈ N P (n) is a text in the image of the n
P (1) is actually a
if P (k) come true. P (K 1) is true, then P (n) is true for every value n ∈ N
proof text:For any cardinal number n P (n) is true, which were written in the symbol
when P (n) is the text about n N instead and set of cardinal number. That is N = {,,, 1 2 3...}
.It was concluded that prove the text in. By using the principle of mathematical induction, we need to show 2 steps
1. So P (1) is true (this process is called step the main base (basic. Step)
2.