จำนวนจริง คือจำนวนที่สามารถจับคู่หน

จำนวนจริง คือจำนวนที่สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งกับจุดบนเส้นตรงที่มีความยาวไม่สิ้นสุด (เส้นจำนวน) ได้ คำว่า จำนวนจริง นั้นบัญญัติขึ้นเพื่อแยกเซตนี้ออกจากจำนวนจินตภาพ จำนวนจริงเป็นศูนย์กลางการศึกษาในสาขาคณิตวิเคราะห์จำนวนจริง (real analysis)
คุณสมบัติและการนำไปใช้
มีหลักเกณฑ์ในการแบ่งจำนวนจริงอยู่หลายเกณฑ์ เช่น จำนวนตรรกยะ หรือ จำนวนอตรรกยะ; จำนวนพีชคณิต (algebraic number) หรือ จำนวนอดิศัย; และ จำนวนบวก จำนวนลบ หรือ ศูนย์
จำนวนจริงแทนปริมาณที่ต่อเนื่องกัน โดยทฤษฎีอาจแทนได้ด้วยทศนิยมไม่รู้จบ และมักจะเขียนในรูปเช่น 324.823211247… จุดสามจุด ระบุว่ายังมีหลักต่อๆไปอีก ไม่ว่าจะยาวเพียงใดก็ตาม
การวัดในวิทยาศาสตร์กายภาพเกือบทั้งหมดจะเป็นการประมาณค่าสู่จำนวนจริง การเขียนในรูปทศนิยม (ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะที่สามารถเขียนเป็นอัตราส่วนที่มีตัวส่วนชัดเจน) ไม่เพียงแต่ทำให้กระชับ แต่ยังทำให้สามารถเข้าใจถึงจำนวนจริงที่แทนได้ในระดับหนึ่งอีกด้วย
จำนวนจริงจำนวนหนึ่งจะกล่าวได้ว่าเป็นจำนวนที่คำนวณได้ (computable) ถ้ามีขั้นตอนวิธีที่สามารถให้ได้ตัวเลขแทนออกมา เนื่องจากมีจำนวนขั้นตอนวิธีนับได้ (countably infinite) แต่มีจำนวนของจำนวนจริงนับไม่ได้ จำนวนจริงส่วนมากจึงไม่เป็นจำนวนที่คำนวณได้ กลุ่มลัทธิเค้าโครง (constructivists) ยอมรับการมีตัวตนของจำนวนที่คำนวณได้เท่านั้น เซตของจำนวนที่ให้นิยามได้นั้นใหญ่กว่า แต่ก็ยังนับได้
ส่วนมากคอมพิวเตอร์เพียงประมาณค่าของจำนวนจริงเท่านั้น โดยทั่วไปแล้ว คอมพิวเตอร์สามารถแทนค่าจำนวนตรรกยะเพียงกลุ่มหนึ่งได้อย่างแม่นยำโดยใช้ตัวเลขจุดลอยตัวหรือตัวเลขจุดตรึง จำนวนตรรกยะเหล่านี้ใช้เป็นค่าประมาณของจำนวนจริงข้างเคียงอื่นๆ เลขคณิตกำหนดความเที่ยงได้ (arbitrary-precision arithmetic) เป็นขั้นตอนในการแทนจำนวนตรรกยะโดยจำกัดเพียงหน่วยความจำที่มี แต่โดยทั่วไปจะใช้จำนวนของบิตความละเอียดคงที่กำหนดโดยขนาดของรีจิสเตอร์หน่วยประมวลผล (processor register) นอกเหนือจากจำนวนตรรกยะเหล่านี้ ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์สามารถจัดการจำนวนอตรรกยะจำนวนมาก (นับได้) อย่างแม่นยำโดยบันทึกรูปแบบเชิงพีชคณิต (เช่น "sqrt(2)") แทนค่าประมาณตรรกยะ
นักคณิตศาสตร์ใช้สัญลักษณ์ R (หรือ - อักษร R ในแบบอักษร blackboard bold) แทนเซตของจำนวนจริง สัญกรณ์ Rn แทนปริภูมิ n มิติของจำนวนจริง เช่น สมาชิกตัวหนึ่งจาก R3 ประกอบด้วยจำนวนจริงสามจำนวนและระบุตำแหน่งบนปริภูมิสามมิติ
นิยาม
การสร้างจากจำนวนตรรกยะ
จำนวนจริงสามารถสร้างเป็นส่วนสมบูรณ์ของจำนวนตรรกยะ สำหรับรายละเอียดและการสร้างจำนวนจริงวิธีอื่นๆดูที่ construction of real numbers (การสร้างจำนวนจริง)
วิธีสัจพจน์
ให้ R แทนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด แล้ว
เซต R เป็นฟีลด์ หมายความว่ามีการนิยามการบวกและการคูณ และมีคุณสมบัติตามปกติ
ฟีลด์ R เป็นฟีลด์อันดับ หมายความว่ามีอันดับเชิงเส้น (total order) ≥ ซึ่งสำหรับทุกจำนวนจริง x y และ z:
ถ้า x ≥ y แล้ว x + z ≥ y + z
ถ้า x ≥ 0 และ y ≥ 0 แล้ว xy ≥ 0
อันดับนั้นมีความบริบูรณ์เดเดคินท์ (Dedekind-complete) กล่าวคือทุกสับเซตที่ไม่ใช่เซตว่าง S ของ R ซึ่งมีขอบเขตบน ใน R มี ขอบเขตบนน้อยสุด ใน R
คุณสมบัติสุดท้ายนี้เป็นตัวแบ่งแยกจำนวนจริงออกจากจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองน้อยกว่า 2 มีขอบเขตบน (เช่น 1.5) แต่ไม่มีขอบเขตบนน้อยสุดที่เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะว่ารากที่สองของ 2 ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ
จำนวนจริงนั้นมีคุณสมบัติข้างต้นเป็นเอกลักษณ์ พูดอย่างถูกต้องได้ว่า ถ้ามีฟีลด์อันดับที่มีความบริบูรณ์เดเดคินท์ 2 ฟีลด์ R1 และ R2 จะมีสมสัณฐานฟีลด์ที่เป็นเอกลักษณ์จาก R1 ไปยัง R2 ทำให้เราสามารถมองว่าทั้งคู่เป็นวัตถุเดียวกัน
คุณสมบัติ
ความบริบูรณ์
เหตุผลหลักในการแนะนำจำนวนจริงก็เพราะว่าจำนวนจริงมีลิมิต พูดอย่างเป็นหลักการแล้ว จำนวนจริงมีความบริบูรณ์ (โดยนัยของ ปริภูมิอิงระยะทาง หรือ ปริภูมิเอกรูป ซึ่งต่างจากความบริบูรณ์เดเดคินท์เกี่ยวกับอันดับในส่วนที่แล้ว) มีความหมายดังต่อไปนี้
ลำดับ (xn) ของจำนวนจริงจะเรียกว่า ลำดับโคชี ถ้าสำหรับ ε > 0 ใดๆ มีจำนวนเต็ม N (อาจขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่งระยะทาง |xn − xm| น้อยกว่า ε โดยที่ n และ m มากกว่า N และอาจกล่าวได้ว่าลำดับเป็นลำดับโคชีโคชีถ้าสมาชิก xnของมันในที่สุดเข้าใกล้กันเพียงพอ
ลำดับ (xn) ลู่เข้าสู่ลิมิต x ถ้าสำหรับ ε > 0 ใดๆมีจำนวนเต็ม N (อาจขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่งระยะทาง |xn − x| น้อยกว่า ε โดยที่ n มากกว่า N และอาจกล่าวได้ว่าลำดับมีลิมิต x ถ้าสมาชิกของมันในที่สุดเข้าใกล้ x เพียงพอ
เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าทุกลำดับลู่เข้าเป็นลำดับโคชี ข้อเท็จจริงที่สำคัญหนึ่งเกี่ยวกับจำนวนจริงคือบทกลับของมันก็เป็นจริงเช่นกัน :
ลำดับโคชีทุกลำดับของจำนวนจริงลู่เข้า
นั่นก็คือ จำนวนจริงนั้นบริบูรณ์
สังเกตว่าจำนวนตรรกยะนั้นไม่บริบูรณ์ เช่น ลำดับ (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) เป็นลำดับโคชีแต่ไม่ลู่เข้าสู่จำนวนตรรกยะจำนวนใดจำนวนหนึ่ง (ในทางกลับกัน ในระบบจำนวนจริง มันลู่เข้าสู่รากที่สองของ 2)
การมีอยู่ของลิมิตของลำดับโคชีทำให้แคลคูลัสใช้การได้ รวมไปถึงการประยุกต์มากมายของมันด้วย การทดสอบเชิงตัวเลขมาตรฐานเพื่อระบุว่าลำดับนั้นมีลิมิตหรือไม่คือการทดสอบว่ามันเป็นลำดับโคชีหรือไม่ ถ้าเราไม่ทราบลิมิตเหล่านั้นล่วงหน้า
ตัวอย่างเช่น อนุกรมพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ลู่เข้าสู่จำนวนจริงจำนวนหนึ่งเพราะว่าสำหรับทุกค่าของ x ผลรวม

สามารถทำให้มีค่าน้อยลงเพียงพอโดยเลือก N ที่มีค่ามากเพียงพอ นี่พิสูจน์ว่าลำดับนี้เป็นลำดับโคชี ดังนั้นเรารู้ว่าลำดับลู่เข้าแม้กระทั่งเราไม่รู้ว่าลิมิตคืออะไร

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 1:

Real number is a number that can be matched one to one with a point on a line with the length (number of lines) is the set of real numbers is constituted to separate this from imaginary.(Real analysis)
Features and the criteria used in dividing the number of true
many criteria such as rational or irrational; The algebra (algebraic number) or a transcendental number; Positive number and a negative number or zero
.Instead of a continuous quantity. The theory may be represented by the decimal endless. And often written as such. 324.823211247 ... indicates that there are essentially three points ahead again. Whether it's a long one at that
.Measurement in almost all sciences are approximate to the real numbers. Writing as a decimal (Which is a rational number can be written as a ratio with the most obvious), not only makes it firmer.No one would say that the real number is a number calculated by (computable) if there is an algorithm that can make up the numbers instead of out. Since there are algorithms countable (countably infinite), but a number of real numbers are uncountable.Layout cult groups (Constructivists) recognized the existence of a number of calculations only. A set of numbers that define them bigger. But it still counts!Most computers only estimate the real number only. Generally Computer could represent a group of rational numbers accurately using floating point or fixed point numbers.Arithmetic can be implemented (Arbitrary-precision arithmetic) is a step in the rational number represented by the limited memory available. But in general, the number of bits fixed resolution determined by the size of the registers, the processor (processor register).Computer algebra system can handle irrational number (count) precise algebraic formats (such as "sqrt (2)") representing approximately rational
.Mathematicians use the symbol r (or - letter r in font blackboard bold) denote the set of real numbers notation rn instead intersects n-dimensional real number, such as members of one of r3 contains the real number three, number and position on intersects three.
DDefinition of rational

build real number can be created as completely rational. For details and other ways to create a real look at the construction of real numbers (the creation of a real number)

axiomatic method.Let r denote the set of all real numbers r
sets as a means of Enfield define addition and multiplication. And r usual features
Enfield is Enfield from. Means that the rank-linear (total order) ≥ a for all real numbers xy and z:
.If x ≥ y then xz ≥ yz
if x ≥ 0 and y ≥ 0 then xy ≥ 0
man in the fullness de Linkin Park. (Dedekind-complete), that is, every non-empty subset s of r, where r is an upper bound on the upper bound on the minimum in r
.This last feature is divided by a real number is rational, for example, the set of rational numbers that are less than 2, there are two upper bounds (eg 1.5), but no upper bound on the minimum is rational. The square root of 2 is not rational
.The fact that the above properties is unique. Correctly say that If any of the Marshfield fulness de Linkin Park 2 Enfield r1 and r2 are isomorphic Enfield unique from r1 to r2.The consummation

The main reason to introduce the fact that the real number is a limit. Say such a principle Real number with age (implied by distance or space-based spatial uniformity.Significantly following
.Sequence (xn) of real numbers is called a Cauchy sequence if for ε> 0 any integer n (possibly depending on ε) such that the distance | xn - xm | is less than ε, where n and m greater than n and may. say that the sequence is Cauchy Cauchy sequence if the members.Sequence (xn) converges to a limit x if for ε> 0 any integer n (possibly depending on ε) such that the distance | xn - x | is less than ε, where n over n and it can be said that order. limit x if its members finally get close enough
x.Is easy to see that every convergent sequence is a Cauchy sequence. One important fact about the actual number is not returned, it is true as well. :
Cauchy sequence every sequence of real numbers converges
that is. The fact that th
Note that it is not completely rational, such a sequence (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) is a Cauchy sequence converges to a rational number, but not the amount. (On the other hand, The real number system It converges to the square root of 2)
.The existence of a limit of a Cauchy sequence makes use of the calculus. The application includes plenty of it. Standard numerical test to indicate that the order is a limit or not is to test whether or not it is a Cauchy sequence.For example, the series of the exponential function

converges to the real number because the sum for all values ​​of x

.Can be made less valuable by choosing n sufficiently valuable enough. This proves that this sequence is a Cauchy sequence. So we know that the sequence converges even we do not know what is the limit
.

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 2:

A real number is a number that can be paired with a point on a straight line with end length (number of lines) is that a real number is, in fact, to distinguish this set from the imaginary numbers. (real analysis)
Properties and to apply criteria divided into constant real number are several criteria, such as how much rational or irrational algebraic number; (Algebraic number) or the number of positive and adisai; Negative numbers or zero
A real number instead of a continuous quantity. The theory may be represented by decimals endlessly and often written as, for example, 324.823211247 ... Three dots Specifies whether to have a future. Whether it is just whatever
.Measure in almost all physical science is an approximation to real numbers. Written in decimal format (which is the rational number can be written as a ratio, the best explicit) Not only does make compact. A number of real numbers is said to be a calculated amount (computable) if there is an algorithm that is able to get a number instead of coming out, because there are a number of steps, how to count the (countably infinite), but there are a number of real numbers is not counted. Cult groups layout (constructivists) accepted the existence of the amount calculated. The set of numbers that are larger than the definition, but it is still counting
.Most computers only about the value of a real number. Generally, The computer instead of just one group of rational values accurately by using floating point numbers, or pin point numbers. Define arithmetic precision (arbitrary-precision arithmetic) is a procedure in which instead of rational numbers, limited only by available memory, but in general use, the number of bits fixed resolution is determined by the size of the registry processing unit (processor register). Computer algebra system can manage many irrational (count) precisely by recording a complex algebraic forms (such as "sqrt (2)") rather than rational estimates
.Mathematician use the symbol R (or-R alphabet blackboard bold fonts in) instead of a set of real number notation Rn n spatial dimensions instead of real numbers, for example, one of the members from the R3 consists of three real numbers and specify a location on a three-dimensional spatial
.
Definition of rational numbers generated by a real number is unable to create
completion of the rational numbers. For details of other ways to create real and look at the construction of real numbers (real number)

axiom method.The actual amount of R instead of the entire set, and then set the R
Summerfield. This means that the definition of addition and multiplication, and are typically rated as R
Summerfield Summerfield means there a linear rate (total order), the actual amount for every x ≥ where y and z:
.If x ≥ y then x z y z ≥ 0 and y ≥ x
if ≥ 0 then xy ≥ 0
top is flawless de de khin (Dedekind-complete), that is, every non-empty set/set S of R, where R is the boundary in the upper boundary is less in R
.Finally, a property of real numbers from rational numbers. For example, the set of rational numbers is the square less than 2 has a scope on (such as 1.5.), but there are no boundaries on the smallest rational number because the square root of 2 is not rational number
.A real number is its unique properties. Speak properly, that if there is a realization that rank Summerfield de de 2 R1 R2 and Summerfield khin is reasonable shape a unique field from R1 to R2.

A perfect property.The main reason for introducing the real number because how many actually have a limit. Speaking as a principle. A real number is its implied reference instruments (spatial distance or spatial uniform binary search. There is the following:
.Sequence (xn) of a real number is called a Covent Garden sequence sheet. If for any ε there > 0 N integer (may depend on ε), where distances are less than xm xn − a |, |, ε, where n and m greater than N and a sequence of other cows and cheese cheese if members. Sequence (xn) convergence to the limit x if for any ε there > 0 N integer (may depend on ε), where distance is x − xn | | less than ε provided that n is greater than N, and other sequence has limit x if its members eventually reaches a sufficient x
.Is easy to see that every sequence is a sequence convergence cheese. One important fact about the real numbers is a chapter of it is true. Code sequence every cheese:
a sequence of real numbers is
convergence. The realization of real number
Note that the number of instruments, such as the rational sequence (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) is a cheese, but not fade into a number of number of number of any rational (vice versa in real numbers it fade into the square root of 2)
.The existence of a sequence 's-she makes the calculus. As well as many of its applications. The standard numerical test to determine whether the sequence is at or not is to test whether it is a she? For example, a series of functions, exponents

convergence to a number of real numbers, because for every value of x total

.Can make it less valuable enough by choosing N is enough. This code sequence, this sequence is proof that she, so we know we're even a convergence series don't know what this is-
.

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 3:

The actual number of is the number of points can be mapped to one of the first to one that is on a straight line is not the end of the length (number of lines) to be provided by the fact that the number of words, to separate embarrassed out of this number of our mission(real analysis)
Features, and the
is used to divide the total number of true, the rules in several criteria such as the number of logic, or the number of applications of logic to ; the number of algebraic (algebraic number), or the amount of trade; and the number of positive or negative number of Center
instead of the actual amount of the consecutive theory may be replaced by a decimal point. Don't Know finish, and is often written in the form such as 324.823211247 ... points three points indicate that there is no other future home, how long will it
The measure of physical science is almost all about the value of the actual writing in the form of decimal point (which is a number of logic can be written as a ratio of the clear, there is a) not only can make a fitIt will be one of the number of it has to be said that it is a number of the calculated (computable) if there are steps that can help to get a number instead of the number of steps, as there are ways of (countably infinite), but there are plenty of actual count of the total number of.the framework of imperialism (constructivists) agree with the calculation of the total number of their own. Only embarrassed of the number of the definition, but it is also larger than that of
.Most of the value of the total number of computer only about truth only in general, the computer can be replaced by the number of logic that only one group with the precision floating point number using numbers or points to stretchoperator precedence determines the noon (arbitrary-precision arithmetic) is replaced by the number of steps in the logic of limited only by the memory available, but in general will use a number of bits of resolution will be determined by the size of registers processor (processor register).Number of computer algebraic system management application logic can be a lot of (since) by accurately recording format of algebraic (such as the "sqrt(2) ") instead of around the logic of
mathematicians Use symbols R (or -font font R in blackboard bold) instead of the number of actual embarrassed these indicators predict Rn instead of the default landscape n dimension of the number of actual members such as the one from R 3 contains a number of real and specify the location of the three default on three-dimensional landscape

definition of the number of logic will create a number of truth
can be created as part of the total number of complete logic for more details and to create a number of other methods for the actual construction of real numbers (the number of actual)

how theoreminstead of the number of actual R, embarrassed, and then
all embarrassed R a peerage means that there is a definition of the product and have the qualifications and positive normal R
peerage peerage rank means that there is a top-line (total order) RATCH was that for every real number X Y and Z:
If X y, then RATCH was X y Z
Z RATCH was if X 0 RATCH was Y and xy RATCH was 0, and then 0 RATCH was
top has the age เดเด Donkin, (Dedekind - complete) in other words, all that is not embarrassed embarrassed chopper free S R which has the scope of the R on a scope on top of at least R
This last feature is the separation of truth from the logic that embarrassed, for example of the number of logic that are less than 2 second on a Scope (such as 1.5), but there are no limits on the minimum number of logic is a square root of 2 because it is not a large number of logic that
The fact that there is a unique feature, the above is correct and that, if there is a second, there is the age เดเด Donkin, 2, 1 and R R 2 will have a perfect shape, a unique 1 to R R from 2The age

featuresThe main reason for the recommended number of workers actually it was because of the fact, there is a principle, and then said in a number of the actual age (based on distance, or any implied warranties of default landscape landscape masterpieces by default picturehave the following meaning
Sequence (xn) of the number of truth might be called, respectively, for ε > 0, if there is any number of full N (may depend on the ε), which is less than |xn |xm − ε, where n and M more than N and it has to be said that the order may be a sequence, cheese, cheese if membersSequence (xn), track to Elim, ε > 0 X If for any number of full N (may depend on the ε), which is less than |xn |X − ε, where n more than N and may be said that the order is Elim, X if it's members at last to close X enough
It is easy to see that every track, respectively, in order to be important, the fact is a fact about the number of the chapter back of it, it is true as well:
, respectively, any order of the total number of track, in fact it is the number of true

age.Note that the total number of logic, it is not the age such as sequence (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ... ) is a priority, but it is not a path, into a number of logical number of any number of one (in the back, in fact it was the number of track into the Second square root of 2)
The presence of workers, respectively, of cheese, as well as the calorie use. The application of many of them in the test numerical standard to specify that the order is Elim, or not is to test whether it is a priority, or not.For example basic serial number of the function pointer is

track to a number of actual number of because for every value of X, the

You can make a choice, at least enough to have enough N. This proves that this sequence is a sequence, and, therefore, we know that the sequence track, even if we do not know what is Elim,