( c ) Give a congruency-subtraction

( c ) Give a congruency-subtraction proof of the Pythagorean to have been devised by Leonardo da Vinci ( 1452-1519).

It is interesting that any two equal polygonal areas are congruent by addition, and that the dissection can always be carried out with slraightedge and compases. On the other hand, in 1901, Max Dehn showed that two equal polyhedral volumes are not necessarily congruent by either addition or subtraction. In particular, it is impossible to dissect a regular tetrahedron into polyhedral pieces which can be ressembled to form a cube.

3.6 Pythagorean Triples
( a ) What is the relation between the hypotenuse and the longer leg of the integral-sided right triangles given by the Pythagorean formula of Section 3-4?
( b ) Find the Pythagorean triples given by the Pythagorean formula of section 3-4 for which the hypotenuse does not exceed 100.
( c ) Prove that there exists no isosceles right triangle whose sides are integers.
( d ) Prove that no Pythagorean triple exists in which one integer is a mean proportional between the other two.
3.7 Irrational Numbers
( a ) Prove that the straight line through the points (0,0) and ( 1,√2 ) passes through no point, other than (0,0) , of the coordinate lattice.
( b ) Show how the coordiuate lattice may be used for finding rational approximations of √2.
( c) If p is a prime number, show that √p is irrational.
( d ) Show that log₁₀ 2 is irrational.
( e ) Generalize part (d) by showing that log₄ b is irrational if a and b are positive integers and one of them contains a prime factor not contained in the other.
3.8 Algebraic ldentities
Indicate how each of the following algebraic identities might be established geometrically.
(a-b)² = a² - 2ab + b²
a (b+c) = ab + ac
( a + b )(c+d) = ac + ad + bd
The statement of Proposition 9 of Book II of Euclid’s Elements is: if a straight line is divided equally and also unequal parts is twice the sum of the squares on half the line and on the line between the points of section. From this theorem obtain the algebraic identity
(a + b)² + (a-b) = 2(a² + b²).

3.9 Geometric Algebra
Draw three unequal line segments. Label the longest one a, the medium one b, and take the smallest one as 1 unit. With straightedge and compasses construct line segments of lengths
a + b and a – b,
ab,
a/b,
√a,
a/n,n a positive integer,
x= (a² + b² - ab)½. If we form a triangle with sides a, b, x, what is the size of the angle between sides a and b?

3.10 Geometric Solution of Quadratic Equations
(a) Given a unit segment, solve the quadratic equation x² - 7x + 12 = 0 by the Pythagorean method.
(b) Given a unit segment, solve the quadratic equation x² + 4x – 21 = 0 by the Pythagorean method.
(c) With straightedge and compasses divide a segment a into two parts such that difference of their squares shall be equal to their product.
(d) Show that, in part ( c ), the longer segment is a mean proportional between the shorter segment and the whole line. The line segment is said to be divided in exlreme and radio, or in golden section.
(e) Let us be given a quadratic equation x² - gx + h = 0. On a rectangular Cartesian frame of reference plot the points B: (0,1) and Q: (g,h). Draw the circle on BQ as diameter and let it cut the x-axis in M and N. Show that the signed lengths of OM and ON represent the roots of the given quadratic equation.This geometrical solution of quadratic equation appeared in Leslie’s Elements of Geometry with the remark. “The solution of this important problem now inserted in the text, was suggested to me by Mr. Thomas Carlyle, ingenious young mathematician, and formerly my pupil.”
(f) Solve the quadratic equation x² - 7x + 12 = 0 and x² + 4x – 21 = 0 by Carlyle’s method.
3.11 Transformation of Areas
(a) Draw an irregular hexagon and then construct, with straightedge and compasses, a square having the same area.
(b) With straightedge and compasses divide a quadrilateral ABCD in three equivalent parts by straight lines drawn through vertex A.
(c) Bisect a trapezoid by a line drawn from a point P in the smaller base.
(d) Transform triangle ABC so that the angle A is not altered, but the side opposite the angle A becomes parallel to a given line MN.
(e) Transform a given triangle into an isosceles triangle having a given vertex angle.
3.12 Regular Solids
(a) Show that there can be no more than give regular polyhedral.
(b) Fine the volume and surface of a regular octahedron of edge e.
(c ) For each of the five regular polyhedral enumerate the number of vertices v, edges e, and faces f, and then evaluate the quantity v – e + f. One of the most interesting theorems relating to any convex ( or more generally any simply-connected) polyhedron, is that v – e + f = 2. This may have been known to Archimedes (ca. 225 b.c.), but was first explicitly stated by Descartes about 1635. Since Euier later independently announced it in 1752, the result is often referred to as the Euler-Descartes formula.
(d ) A cuboctahedron is a solid whose are obtained by joining together the mid-points of adjacent edges of a cube. Enumerate v,e, and f for a cuboctahedron.
(e ) Consider a solid cube with regular pyramids built on pair of 0pposite faces. Now let a hole with square section,and with its axis on the line joining the vertices of the pyramids, be cut from the solid Evaluate v – e + f for this ring-shaped solids.

ผลลัพธ์ (เยอรมัน) 1:

(c) belegen Sie eine Kongruenz-Subtraktion von Pythagoras, von Leonardo da Vinci (1452-1519) entwickelt haben.Es ist interessant, dass gleich zwei polygonalen Bereiche durch Zugabe deckungsgleich sind, und dass die Dissektion immer mit Slraightedge und Compases. auf der anderen Seite 1901 durchgeführt werden kann, Max Dehn zeigten, dass zwei gleich polyedrischen Volumes sind nicht notwendigerweise kongruent durch Addition oder Subtraktion., vor allem, es ist unmöglich, Tetraeders in polyedrischen Stücke zerlegen die Palmblättern sein kann, um einen Cube zu bilden.3.6 Pythagoreische Tripel(a) Was ist die Beziehung zwischen Hypotenuse und das längere Bein von der Integral-seitig rechtwinkligen Dreiecken der Pythagoras-Formel von Abschnitt 3-4 angegebenen?(b) finde die pythagoräische Drillinge von der Pythagoras-Formel von Abschnitt 3-4 für die Hypotenuse nicht 100 überschreitet.(c) beweisen, dass es kein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck existiert, dessen Seiten Ganzzahlen sind.(d) beweisen Sie, dass keine pythagoreisches Tripel vorhanden ist, in dem eine Ganzzahl ein Mittelwert zwischen den beiden anderen proportional ist.3.7 irrationale Zahlen(a) beweisen Sie, dass kein Punkt, außer (0,0), der Geraden durch die Punkte (0,0) und (1, √2) durchläuft des Gitters koordinieren.(b) zeigen Sie, wie das Coordiuate-Gitter verwendet werden dürfen, für die Suche nach rationalen Approximationen von √2.(c) wenn p eine Primzahl ist, zeigen Sie, dass √p irrational ist.(d) zeigen, dass Log₁₀ 2 ist irrational.(e) verallgemeinern Teil (d) zeigen, dass Log₄-b ist irrational wenn a und b positive ganze Zahlen sind und eine davon enthält ein Primfaktor nicht im anderen enthalten.3.8 algebraische ldentities Geben Sie an, wie die folgenden algebraischen Identität geometrisch etabliert werden könnte. (a-b) ² = a ² - 2ab + b ² a (b + c) = Ab + Ac (a + b)(c+d) = Ac + Ad + bd Die Aussage von Proposition 9 von Buch II von Euklids Elementen ist: Wenn eine gerade Linie gleichmäßig ist und auch ungleiche Teile zweimal die Summe der Quadrate auf die Hälfte der Strecke und auf der Linie zwischen den Punkten der Abschnitt aus diesem Theorem rufen Sie die algebraische Identität(a + b) ² + (a-b) = 2 (a ² + b ²).3.9 algebraische GeometrieZeichnen drei ungleiche Linie Segmente. längste diejenige ein, die eine mittlere b kennzeichnest und nehmen Sie das kleinste 1 Sternensensors mit Lineal und Zirkel zu konstruieren Liniensegmente Längen a + b und a-b, Ab, a / b, √a, a n, n eine positive ganze Zahl, x = (a ² + b ² - Ab) ½. wenn wir ein Dreieck mit den Seiten a, b bilden, x, was die Größe des Winkels zwischen Seiten ist a und b?3.10 geometrische Lösung von quadratischen Gleichungen(a) lösen Sie gegeben ein Einheit-Segment, die quadratische Gleichung X ²-7 X + 12 = 0 von der Pythagoras-Methode.(b) lösen Sie da ein Einheit-Segment, die quadratische Gleichung X ² + 4 x – 21 = 0 von der Pythagoras-Methode.(c) mit Lineal und Zirkel teilen ein Segment eine in zwei Teile, so werden diese Differenz ihre Quadrate gleich zu ihrem Produkt.(d) zeigen Sie, dass teilweise (c), das längere Segment ist eine mittlere proportionale zwischen Segment kürzer und die ganze Zeile. sagte das Liniensegment in Exlreme und Radio oder im Goldenen Schnitt aufgeteilt werden.(e) lassen uns eine quadratische Gleichung X ²-Gx + h gegeben werden = 0. einen rechteckigen kartesische Bezugsrahmen darstellen die Punkte B: (0,1) und f: (g, h). zeichnen Sie den Kreis auf BQ, wie Durchmesser und lassen es schneiden die x-Achse nach M und N. zeigen, dass die signierten Längen von OM und repräsentieren die Wurzeln der gegebenen quadratischen equation.This geometrische Lösung der quadratischen Gleichung Leslies Elemente der Geometrie mit der Bemerkung erschien. "Die Lösung für dieses wichtige Problem jetzt in den Text eingefügt wurde mir vorgeschlagen, von Mr. Thomas Carlyle, geniale junge Mathematiker und ehemals meine Schüler."(f) lösen Sie die quadratische Gleichung X ²-7 X + 12 = 0 und X ² + 4 X – 21 = 0 von Carlyle's-Methode.3.11 Transformation der Gebiete(a) zeichnen Sie eine unregelmäßige Sechseck und dann konstruieren mit Lineal und Zirkel, ein Quadrat mit der gleichen Fläche.(b) mit Lineal und Zirkel teilen Sie eine vierseitige ABCD in drei gleichwertige Teile durch gerade Linien gezeichnet durch Scheitelpunkt A.(c) halbieren eines Trapezes durch eine Linie von einem Punkt P in der kleineren Base.(d) verwandeln Sie Dreieck ABC, so dass der Winkel A wird nicht verändert, aber die Gegenseite der Winkel A parallel zu einer bestimmten Zeile MN wird.(e) verwandeln Sie ein gegebenen Dreiecks in ein gleichschenkliges Dreieck mit einem bestimmten Scheitelwinkel.3.12 regelmäßige Feststoffe(a) zeigen, dass es nicht mehr als geben regelmäßige dürfen polyedrischen.(b) das Volumen und die Oberfläche des eine reguläre Oktaeder Rand e fein.(c) für jede der fünf regulären polyedrischen auflisten die Anzahl der Scheitelpunkte V, Kanten e und f Gesichter, und wertet dann die Menge V – e + F. eines der interessantesten Theoreme, die im Zusammenhang mit jedem konvex (oder generell einfach angeschlossen) Polyeder, ist, dass V-e + f = 2. Dies kann sind dafür bekannt, Archimedes (ca. 225 v. Chr.), sondern war erstmals explizit formuliert Descartes ca. 1635. da Euier kündigten es später selbständig im Jahre 1752, das Ergebnis wird oft als die Euler-Descartes-Formel bezeichnet.(d) ein Kuboktaeder ist eine solide deren durch Zusammenfügen der Mitte-Punkte der benachbarten Kanten ein Cube. Enumerate V, e und f für ein Kuboktaeder ermittelt werden.(e) darauf hinweisen Sie, dass eine solide Würfel mit regelmäßigen Pyramiden gebaut auf paar 0pposite Gesichter. jetzt ein Loch mit quadratischen Abschnitt, und die Achse auf der Linie die Eckpunkte der Pyramiden lassen, von den festen Evaluate V – e + f für diese Feststoffe mit ringförmigen geschnitten Sie werden.

ผลลัพธ์ (เยอรมัน) 2:

(C) Geben Sie einem Kongruenz-Subtraktion der Beweis des pythagoräischen von Leonardo da Vinci zu entwickelt wurden (1,452-1519). Es ist interessant, dass alle polygonalen zwei gleiche Flächen werden durch Zugabe deckungsgleich, und dass die Dissektion können immer mit durchgeführt werden. slraightedge und Compases. Auf der anderen Seite, im Jahr 1901, zeigte Max Dehn, dass zwei gleiche polyedrische Mengen werden nicht unbedingt von entweder Addition oder Subtraktion kongruent. Insbesondere ist es unmöglich, einen regelmäßigen Tetraeders In polyedrische Stücke, die Ressembled Kann auf einem Würfel werden sezieren. 3.6 pythagoreische Tripel (a) Was ist die Beziehung zwischen der Hypotenuse und der längere Schenkel des integralen seitig rechtwinklige Dreiecke Angesichts von Die. Pythagorean Formel von Abschnitt 4.3? (B) Finden Sie die pythagoreische Tripel Angesichts von The Pythagorean Formel von Abschnitt 3-4, für die die Hypotenuse nicht mehr als 100. (C) Beweisen, dass es keine gleichschenkliges Dreieck, dessen Seiten mit der rechten ganze Zahlen sind. (D) zu beweisen, dass keine pythagoreischen Dreifach existiert, in dem eine ganze Zahl die mittlere Proportionale zwischen den beiden anderen. 3.7 irrationale Zahlen (a) Zeigen Sie, dass die Linie durch das gerade Punkte (0,0) und (1, √2) durchläuft. kein Punkt, andere als (0,0), der The Lattice koordinieren. (B) zeigen, wie die Lattice Coordiuate können zum Auffinden Rational Annäherungen √2 verwendet werden. (C) Wenn P eine Primzahl ist, zeigen, dass √p ist. Irrational. (D) Zeigen Sie, dass log₁₀ 2 ist vernunftwidrig. (E) zu verallgemeinern Teil (D) durch die zeigen, dass Log₄ B Irrational wenn a und b positive ganze Zahlen sind, und einer von ihnen enthält eine Prime Faktor nicht in den anderen. Enthalten 3,8 Algebraische. Ldentities zeigen an, wie jede der folgenden algebraischen Identitäten Könnte geometrisch aufgebaut werden. (AB) ² = a² - 2AB + b² einer (B + C) = AB + AC (A + B) (C + D) = AC + Ad + BD. Die Aussage von Satz 9 des Zweiten Buches der Elemente des Euklid ist: Wenn eine Gerade gleichermaßen und auch ungleiche Teile geteilt ist doppelte Summe der Quadrate auf der Hälfte der Strecke und auf der Linie zwischen den Punkten der Sektion. Besorgen Sie diesen Satz von algebraischen Die Identität (a + b) ² + (AB) = 2 (a² + b²). 3.9 Geometrische Algebra Linie zeichnen Drei ungleiche Segmente. Beschriften Sie die längste eines, das Medium ein b, und nehmen Sie die kleinste als 1 Einheit. Mit Lineal und Zirkel Construct Leitungslängen Segmente einer B + und - B, AB, A / B, √ a, eine / n, n eine positive ganze Zahl, x = (a² + b² - AB) ½. ? WENN wir bilden ein Dreieck mit den Seiten a, b, x, Was ist die Größe des Winkels zwischen den Seiten A und B 3/10 Geometrische Lösung von Quadratische Gleichungen (a) Bei einer Einheit Segment Lösen der quadratischen Gleichung x² - 7X + 12 =. . 0 von The pythagoräischen Methode (B) Bei einer Einheit Segment Lösen der quadratischen Gleichung x² + 4x - 21 = 0 durch pythagoräischen Methode. (C) mit Lineal und Zirkel TEILEN ein Segment ein in zwei Teile Solche dieser Unterschied der Quadrate. Sollen gleich ihrem Produkt. (D) zeigen, dass in Teil (C), das Segment ist die längere mittlere Proportionale SHORTER Segment und der ganzen Linie. Das Liniensegment soll in Exlreme und Radio oder im Goldenen Schnitt geteilt werden. (E) Lassen Sie uns gegeben werden, eine quadratische Gleichung x² - GX + h = 0. Auf einem rechteckigen kartesischen Plot Der Rahmen von Referenzpunkten B: (0. , 1) und Q: (g, h). Zeichnen Sie den Kreis auf BQ als Durchmesser und lassen Sie es die x-Achse in M und N zeigen geschnitten, dass die unterzeichneten Längen von OM und ON stellen die Wurzeln der gegebenen quadratischen equation.This geometrische Lösung der quadratischen Gleichung in Leslies Elemente der Geometrie erschien. mit der Bemerkung. ". Die Lösung dieses wichtigen Problems nun in den Text eingefügt, der von Herrn Thomas Carlyle wurde ME, Ingenious Junge Mathematiker EMPFOHLENE und früher Meine Schüler" (F) Lösen der quadratischen Gleichung x² - 7X + 12 = 0 und x² +. 4x -. 21 = 0 durch Carlyles Methode 11.3 Transformation von Gebiete . (a) Zeichnen Sie ein unregelmäßiges Sechseck und Konstruieren mit Lineal und Zirkel, ein Platz mit der gleichen Fläche (B) mit Lineal und Zirkel TEILEN ein Viereck ABCD in drei Äquivalente. Linien durch gerade Teile Durch Vertex A. gezogen (C) halbieren ein Trapez durch eine Linie von einem Punkt P in der kleineren Basis erstellt. (D) Damit Trans Dreieck ABC Der Winkel A wird nicht verändert, aber der gegenüberliegenden Seite A Der Winkel. wird parallel zu einer gegebenen Linie MN. (E) Transformieren einer gegebenen Dreieck in ein gleichschenkliges Dreieck mit einer vorgegebenen Scheitelwinkel. 3.12 Regelmäßige Feststoffe (a) Zeigen Sie, dass es nicht mehr als Give regelmäßigen polyedrischen. (B) fein die Volumen und. Oberfläche eines regelmäßigen Oktaeder von EDGE E. (C) Für jedes der fünf regelmäßigen polyedrischen aufzuzählen Die Anzahl der Ecken v, Kanten E, F und Gesichter, und dann bewerten die Anzahl v - E + F. Eine der interessantesten Sätze im Zusammenhang mit einem konvexen (oder allgemeiner jede einfach zusammen) Polyeder, dh v - e + f = 2. Dies kann zu Archimedes (ca. 225 vor Christus) bekannt gewesen, aber zum ersten Mal explizit angegeben. Über 1635 Seit Euier später unabhängig von Descartes bekannt, dass es im Jahre 1752, ist das Ergebnis oft als die Euler-Formel Descartes bezeichnet. (D) ein Kuboktaeder ist ein Fest, dessen durch Verbinden der Mittelpunkte benachbarter Kanten a erhalten. Würfel. Zählen Sie v, E und F für einen Kuboktaeder. (E) Betrachten Sie eine Fest Cube mit regelmäßigen Pyramiden auf Paar 0pposite Gesichter gebaut. Lassen Sie uns nun ein Loch mit quadratischem Querschnitt, und mit ihrer Achse auf der Linie, die die Spitzen der Pyramiden, vom festen Werten v geschnitten werden - für diese ringförmige Feststoffe e + f.

ผลลัพธ์ (เยอรมัน) 3:

(c), eine Geben Kongruenz - Subtraktion Nachweis der Pythagoreischen Stimmung, wurden entwickelt von Leonardo da Vinci (1452 - 1519 ) .

Es ist interessant, dass zwei gleichberechtigte Bereiche sind kongruent polygonalen durch darüber hinaus, und die dissection können nur durchgeführt werden, wenn slraightedge und compases. Auf der anderen Seite, 1901,