บทที่ 7 การโปรแกรมเชิงพลวัต (Dynami

บทที่ 7 การโปรแกรมเชิงพลวัต (Dynamic Programming)
การโปรแกรมเชิงพลวัต เปนเทคนิควิธีทางคณิตศาสตรที่ใชในการแกปญหาของตัวแบบที่ มี n ตัวแปร โดยแยกยอยการแกปญหาออกเปน n ขั้นตอน (Stage) ในแตละขั้นตอนจะเปนการ แกปญหายอยที่มีเพียงแค 1 ตัวแปร การแกปญหาในแตละขั้นตอนจะมีการคํานวณที่เชื่อมโยง ตอเนื่องกัน (Recursive) ตั้งแตขั้นตอนแรก จนถึงขั้นตอนสุดทาย ทั้งนี้การเชื่อมโยงดังกลาวจะผาน ขอมูลของสถานะ (State) ของระบบ เนื่องจากการแกปญหาไดมีการแบงปญหาออกเปนขั้นตอนตาง ๆ ดังนั้นในบางครั้งจึงได มีการเรียกการแกปญหาแบบนี้วาเปน การโปรแกรมหลายขั้นตอน (Multistage Programming)
7.1 องคประกอบของตัวแบบการโปรแกรมเชิงพลวัต ในตัวแบบของการโปรแกรมเชิงพลวัต จะประกอบไปดวยขั้นตอนตาง ๆ สถานะของ ระบบ รวมถึงทางเลือกที่ใชการตัดสินใจ (Decision Alternatives) ในแตละขั้นตอน อยางไรก็ตามการ กําหนดองคประกอบเหลานั้น แตกตางกันไปแลวแตวาเปนตัวแบบของปญหาแบบใด เพื่อใหเกิดความ เขาใจ พิจารณาตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 7.1 บริษัทแหงหนึ่งเปนเจาของโรงงาน 3 โรงงาน ในแตละป ทางบริษัทจะใหแตละ โรงงานนําเสนอแผนการลงทุนเพื่อใหบริษัทพิจารณา ซึ่งในปนี้แตละโรงงานไดนําเสนอแผนการ ลงทุนโดยมีจํานวนเงินที่จะตองใช (หนวยเปนลานบาท) และผลกําไรที่คาดวาจะได (หนวยเปนลาน บาท) ดังแสดงในตาราง
แผนการลงทุน
โรงงานที่ 1 ลงทุน กําไร
โรงงานที่ 2 ลงทุน กําไร
โรงงานที่ 3 ลงทุน กําไร 1 0 0 0 0 0 0 2 1 5 2 6 1 4 3 2 8 3 8 2 6 4 3 9 - - - -
123
แตในปนี้ทางบริษัทมีจํานวนเงินที่สามารถจัดสรรมาใชในการลงทุนเปนจํานวนเงิน 5 ลานบาท จงหา วาบริษัทจะเลือกแผนการลงทุนของแตละโรงงานอยางไรที่จะทําใหบริษัทไดผลกําไรมากที่สุด วิธีทํา จากปญหาดังกลาว จะเห็นไดวาจํานวนวิธีที่สามารถเลือกแผนการลงทุนของโรงงานที่ 1, 2 และ 3 เทากับ 4, 3 และ 3 วิธี ตามลําดับ และนั่นหมายถึงวา จํานวนวิธีที่บริษัทจะเลือกแผนการลงทุน ใหกับโรงงานทั้ง 3 แหงนั้นเทากับ 4 x 3 x 3 = 36 วิธี อยางไรก็ตามทั้ง 36 วิธีนั้น บางวิธีนั้นเปนคําตอบ ที่เปนไปไมได เชน โรงงานที่ 1 เลือกแผนการลงทุนที่ 4 โรงงานที่ 2 เลือกแผนการลงทุนที่ 3 และ โรงงานที่ 3 เลือกแผนการลงทุนที่ 3 จะเห็นไดวา จํานวนเงินที่ใชทั้งหมดเทากับ 3 + 3 + 2 = 8 ลาน บาท ซึ่งมากกวาจํานวนเงินที่บริษัทไดจัดสรรไว ในการหาวิธีที่บริษัทจะเลือกแผนการลงทุนของโรงงานจากจํานวน 36 วิธีนั้นจะเห็นไดวา การที่จะพิจารณาวาวิธีใดเปนไปไดหรือเปนไปไมได และจากวิธีที่เปนไปไดนั้นวิธีใดที่จะเปนคําตอบ ที่ดีที่สุด ซึ่งเห็นไดอยางชัดเจนวาเปนขั้นตอนที่ใชเวลามาก ดังนั้นในการแกปญหาจึงตองใชเทคนิคที่ จะแบงปญหาดังกลาวออกเปนปญหายอยๆ แลวคอยแกปญหายอยนั้น จากนั้นนําคําตอบของปญหา ยอยไปบูรณาการที่จะหาคําตอบของปญหาใหญ ซึ่งหลักการแบบนี้เปนที่นิยมใชโดยทั่วไปที่เรียกวา “แบงแยกและก็ปราบ (Divide and Conquer)” ในที่นี้จะแบงปญหาดังกลาวออกเปน 3 ขั้นตอน ในแตละขั้นตอนจะเปนการพิจารณา จํานวนเงินที่จะจัดสรรใหกับแตละโรงงาน กลาวคือ จะกําหนดขั้นตอนที่ j = โรงงานที่ j, j = 1, 2, 3 สวนการกําหนดสถานะของระบบในแตละขั้นตอนกําหนดไดโดยให x1 คือจํานวนเงินที่สามารถนําไปใชในการลงทุนไดในขั้นตอนที่ 1 x2 คือจํานวนเงินที่สามารถนําไปใชในการลงทุนไดในขั้นตอนที่ 1 และ 2 x3 คือจํานวนเงินที่สามารถนําไปใชในการลงทุนไดในขั้นตอนที่ 1, 2 และ 3 และให kj คือแผนการลงทุนของโรงงานในขั้นตอนที่ j, j = 1, 2, 3 Rj(kj) คือผลกําไรที่ไดจากการใชแผนการลงทุน kj ที่ขั้นตอนที่ j, j = 1, 2, 3 cj(kj) คือจํานวนเงินลงทุนเมื่อใชแผนการลงทุน kj ที่ขั้นตอนที่ j, j = 1, 2, 3 fj(xj) คือผลกําไรที่มากที่สุดของขั้นตอนที่ 1, 2, …, j ที่มีสถานะ xj, j = 1, 2, 3 จํานวนเงินที่สามารถนําไปใชในการลงทุนไดในขั้นตอนที่ 1 (x1) และแผนการลงทุนที่เปนไปได (k1) โดยสอดคลองกับจํานวนเงินดังกลาวจะไดผลกําไร R1(k1) แสดงในตาราง
124
ขั้นตอนที่ 1 R1(k1) x1 k1 = 1 k1 = 2 k1 = 3 k1 = 4 f1 (x1) k1* 0 0 - - - 0 1 1 0 5 - - 5 2 2 0 5 8 - 8 3 3 0 5 8 9 9 4 4 0 5 8 9 9 4 5 0 5 8 9 9 4 จํานวนเงินที่สามารถนําไปใชในการลงทุนไดในขั้นตอนที่ 1 และ 2 (x2) แผนการลงทุนที่เปนไปได (k2) และผลกําไรที่ไดจากการใชแผนการลงทุนดังกลาว รวมกับผลกําไรที่มากที่สุดจากจํานวนเงินที่ เหลือ และนําไปใชในขั้นตอนที่ 1 แสดงในตาราง ขั้นตอนที่ 2 R2(k2) + f1[x2 - c2(k2)] x2 k2 = 1 k2 = 2 k2 = 3 f2 (x2) k2* 0 0 + 0 = 0 - - 0 1 1 0 + 5 = 5 - - 5 1 2 0 + 8 = 8 6 + 0 = 6 - 8 1 3 0 + 9 = 9 6 + 5 = 11 8 + 0 = 8 11 2 4 0 + 9 = 9 6 + 8 = 14 8 + 5 = 13 14 2 5 0 + 9 = 9 6 + 9 = 15 8 + 8 = 16 16 3 จํานวนเงินที่สามารถนําไปใชในการลงทุนไดในขั้นตอนที่ 1, 2 และ 3 (x3) แผนการลงทุนที่เปนไปได (k3) และผลกําไรที่ไดจากการใชแผนการลงทุนรวมกับผลกําไรที่มากที่สุดจากจํานวนเงินที่เหลือ และ นําไปใชในขั้นตอนที่ 2 แสดงในตาราง
125
ขั้นตอนที่ 3 R3(k3) + f2[x3 - c3(k3)] x3 k3 = 1 k3 = 2 k3 = 3 f3(x3) k3* 5 0 + 16 = 16 4 + 14 = 18 6 + 11 = 17 18 2
จากขั้นตอนที่ 3 จะเห็นไดวา ผลกําไรที่มากที่สุดจากการเลือกแผนการลงทุนใหกับ โรงงานทั้ง 3 แหงนั้นเทากับ 18 ลานบาท ทั้งนี้เมื่อพิจารณาแผนการลงทุนจากขั้นตอนที่ 3 และ ยอนกลับไปที่ขั้นตอนที่ 2 และขั้นตอนที่ 1 สรุปไดวา โรงงานที่ 3 ตองใชแผนการลงทุนที่ 2 โรงงานที่ 2 ตองใชแผนการลงทุนที่ 2 และโรงงานที่ 1 ตองใชแผนการลงทุนที่ 3
7.2 การคํานวณการเกี่ยวโยงแบบยอนหลัง (Backward Recursion) จากตัวอยางที่ 7.1 จะเห็นไดวาในการใชการโปรแกรมเชิงพลวัตในการหาคําตอบของ ปญหานั้นการคํานวณที่เปนแบบเกี่ยวโยงไดเริ่มจากขั้นตอนที่ 1 ไปจนถึงขั้นตอนที่ 3 เรียงตามลําดับ ซึ่งเรียกวาเปนการคํานวณการเกี่ยวโยงแบบไปขางหนา (Forward Recursion) ซึ่งถาพิจารณาถึง การ คํานวณที่เปนการเกี่ยวโยงของแตละขั้นตอนนั้นจะเห็นไดวาไมเกี่ยวของกับการที่ขั้นตอนจะตอง เรียงลําดับกัน แตการคํานวณจะตองครบทุกขั้นตอนเทานั้น แตอยางไรก็ตาม ถาจะทําการคํานวณที่เปน การเกี่ยวโยงในแตละขั้นตอนโดยที่ขั้นตอนที่ไมเรียงลําดับกันนั้น การกําหนดสถานะ และตัวแปรตาง ๆ ที่เกี่ยวของทําไดยาก ดังนั้นในการคํานวณที่เปนการเกี่ยวโยงของปญหาที่ใชการโปรแกรมเชิงพลวัต ในการหาคําตอบที่

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 1:

Chapter 7-dynamic programming (Dynamic Programming) The program complex dynamic system and method of  host natheknik   math support that in Grand ,  of battery problems with the variable n by d l   p  g ayakan battery problems-step n out Pedro  (Stage) in 2000, the  will host  bulletin.  ayathi   p g yahai only cache 1  Variant. The Grand  s   2000 battery problems in each step, it is calculated that link. . anueang. (Recursive) set up in 2000,  the first step until the final step, the าย-link  wacha said from your rights. (B) the status of amun  (State) of the system due to the Grand ,  ,  drivers battery problems have been  out nakhan  ngop battery problems now Pedro างๆ. Therefore, sometimes the  He called it   p   battery problems – Peter Green. The program several steps (Multistage Programming) 7.1 องคประกอบของตัวแบบการโปรแกรมเชิงพลวัต ในตัวแบบของการโปรแกรมเชิงพลวัต จะประกอบไปดวยขั้นตอนตาง ๆ สถานะของ ระบบ รวมถึงทางเลือกที่ใชการตัดสินใจ (Decision Alternatives) ในแตละขั้นตอน อยางไรก็ตามการ กําหนดองคประกอบเหลานั้น แตกตางกันไปแลวแตวาเปนตัวแบบของปญหาแบบใด เพื่อใหเกิดความ เขาใจ พิจารณาตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 7.1 บริษัทแหงหนึ่งเปนเจาของโรงงาน 3 โรงงาน ในแตละป ทางบริษัทจะใหแตละ โรงงานนําเสนอแผนการลงทุนเพื่อใหบริษัทพิจารณา ซึ่งในปนี้แตละโรงงานไดนําเสนอแผนการ ลงทุนโดยมีจํานวนเงินที่จะตองใช (หนวยเปนลานบาท) และผลกําไรที่คาดวาจะได (หนวยเปนลาน บาท) ดังแสดงในตาราง แผนการลงทุน โรงงานที่ 1 ลงทุน กําไร โรงงานที่ 2 ลงทุน กําไร โรงงานที่ 3 ลงทุน กําไร 1 0 0 0 0 0 0 2 1 5 2 6 1 4 3 2 8 3 8 2 6 4 3 9 - - - - 123 แตในปนี้ทางบริษัทมีจํานวนเงินที่สามารถจัดสรรมาใชในการลงทุนเปนจํานวนเงิน 5 ลานบาท จงหา วาบริษัทจะเลือกแผนการลงทุนของแตละโรงงานอยางไรที่จะทําใหบริษัทไดผลกําไรมากที่สุด วิธีทํา จากปญหาดังกลาว จะเห็นไดวาจํานวนวิธีที่สามารถเลือกแผนการลงทุนของโรงงานที่ 1, 2 และ 3 เทากับ 4, 3 และ 3 วิธี ตามลําดับ และนั่นหมายถึงวา จํานวนวิธีที่บริษัทจะเลือกแผนการลงทุน ใหกับโรงงานทั้ง 3 แหงนั้นเทากับ 4 x 3 x 3 = 36 วิธี อยางไรก็ตามทั้ง 36 วิธีนั้น บางวิธีนั้นเปนคําตอบ ที่เปนไปไมได เชน โรงงานที่ 1 เลือกแผนการลงทุนที่ 4 โรงงานที่ 2 เลือกแผนการลงทุนที่ 3 และ โรงงานที่ 3 เลือกแผนการลงทุนที่ 3 จะเห็นไดวา จํานวนเงินที่ใชทั้งหมดเทากับ 3 + 3 + 2 = 8 ลาน บาท ซึ่งมากกวาจํานวนเงินที่บริษัทไดจัดสรรไว ในการหาวิธีที่บริษัทจะเลือกแผนการลงทุนของโรงงานจากจํานวน 36 วิธีนั้นจะเห็นไดวา การที่จะพิจารณาวาวิธีใดเปนไปไดหรือเปนไปไมได และจากวิธีที่เปนไปไดนั้นวิธีใดที่จะเปนคําตอบ ที่ดีที่สุด ซึ่งเห็นไดอยางชัดเจนวาเปนขั้นตอนที่ใชเวลามาก ดังนั้นในการแกปญหาจึงตองใชเทคนิคที่ จะแบงปญหาดังกลาวออกเปนปญหายอยๆ แลวคอยแกปญหายอยนั้น จากนั้นนําคําตอบของปญหา ยอยไปบูรณาการที่จะหาคําตอบของปญหาใหญ ซึ่งหลักการแบบนี้เปนที่นิยมใชโดยทั่วไปที่เรียกวา “แบงแยกและก็ปราบ (Divide and Conquer)” ในที่นี้จะแบงปญหาดังกลาวออกเปน 3 ขั้นตอน ในแตละขั้นตอนจะเปนการพิจารณา จํานวนเงินที่จะจัดสรรใหกับแตละโรงงาน กลาวคือ จะกําหนดขั้นตอนที่ j = โรงงานที่ j, j = 1, 2, 3 สวนการกําหนดสถานะของระบบในแตละขั้นตอนกําหนดไดโดยให x1 คือจํานวนเงินที่สามารถนําไปใชในการลงทุนไดในขั้นตอนที่ 1 x2 คือจํานวนเงินที่สามารถนําไปใชในการลงทุนไดในขั้นตอนที่ 1 และ 2 x3 คือจํานวนเงินที่สามารถนําไปใชในการลงทุนไดในขั้นตอนที่ 1, 2 และ 3 และให kj คือแผนการลงทุนของโรงงานในขั้นตอนที่ j, j = 1, 2, 3 Rj(kj) คือผลกําไรที่ไดจากการใชแผนการลงทุน kj ที่ขั้นตอนที่ j, j = 1, 2, 3 cj(kj) คือจํานวนเงินลงทุนเมื่อใชแผนการลงทุน kj ที่ขั้นตอนที่ j, j = 1, 2, 3 fj(xj) คือผลกําไรที่มากที่สุดของขั้นตอนที่ 1, 2, …, j ที่มีสถานะ xj, j = 1, 2, 3 จํานวนเงินที่สามารถนําไปใชในการลงทุนไดในขั้นตอนที่ 1 (x1) และแผนการลงทุนที่เปนไปได (k1) โดยสอดคลองกับจํานวนเงินดังกลาวจะไดผลกําไร R1(k1) แสดงในตาราง 124
ขั้นตอนที่ 1 R1(k1) x1 k1 = 1 k1 = 2 k1 = 3 k1 = 4 f1 (x1) k1* 0 0 - - - 0 1 1 0 5 - - 5 2 2 0 5 8 - 8 3 3 0 5 8 9 9 4 4 0 5 8 9 9 4 5 0 5 8 9 9 4 จํานวนเงินที่สามารถนําไปใชในการลงทุนไดในขั้นตอนที่ 1 และ 2 (x2) แผนการลงทุนที่เปนไปได (k2) และผลกําไรที่ไดจากการใชแผนการลงทุนดังกลาว รวมกับผลกําไรที่มากที่สุดจากจํานวนเงินที่ เหลือ และนําไปใชในขั้นตอนที่ 1 แสดงในตาราง ขั้นตอนที่ 2 R2(k2) + f1[x2 - c2(k2)] x2 k2 = 1 k2 = 2 k2 = 3 f2 (x2) k2* 0 0 + 0 = 0 - - 0 1 1 0 + 5 = 5 - - 5 1 2 0 + 8 = 8 6 + 0 = 6 - 8 1 3 0 + 9 = 9 6 + 5 = 11 8 + 0 = 8 11 2 4 0 + 9 = 9 6 + 8 = 14 8 + 5 = 13 14 2 5 0 + 9 = 9 6 + 9 = 15 8 + 8 = 16 16 3 จํานวนเงินที่สามารถนําไปใชในการลงทุนไดในขั้นตอนที่ 1, 2 และ 3 (x3) แผนการลงทุนที่เปนไปได (k3) และผลกําไรที่ไดจากการใชแผนการลงทุนรวมกับผลกําไรที่มากที่สุดจากจํานวนเงินที่เหลือ และ นําไปใชในขั้นตอนที่ 2 แสดงในตาราง
125
ขั้นตอนที่ 3 R3(k3) + f2[x3 - c3(k3)] x3 k3 = 1 k3 = 2 k3 = 3 f3(x3) k3* 5 0 + 16 = 16 4 + 14 = 18 6 + 11 = 17 18 2
จากขั้นตอนที่ 3 จะเห็นไดวา ผลกําไรที่มากที่สุดจากการเลือกแผนการลงทุนใหกับ โรงงานทั้ง 3 แหงนั้นเทากับ 18 ลานบาท ทั้งนี้เมื่อพิจารณาแผนการลงทุนจากขั้นตอนที่ 3 และ ยอนกลับไปที่ขั้นตอนที่ 2 และขั้นตอนที่ 1 สรุปไดวา โรงงานที่ 3 ตองใชแผนการลงทุนที่ 2 โรงงานที่ 2 ตองใชแผนการลงทุนที่ 2 และโรงงานที่ 1 ตองใชแผนการลงทุนที่ 3
7.2 การคํานวณการเกี่ยวโยงแบบยอนหลัง (Backward Recursion) จากตัวอยางที่ 7.1 จะเห็นไดวาในการใชการโปรแกรมเชิงพลวัตในการหาคําตอบของ ปญหานั้นการคํานวณที่เปนแบบเกี่ยวโยงไดเริ่มจากขั้นตอนที่ 1 ไปจนถึงขั้นตอนที่ 3 เรียงตามลําดับ ซึ่งเรียกวาเปนการคํานวณการเกี่ยวโยงแบบไปขางหนา (Forward Recursion) ซึ่งถาพิจารณาถึง การ คํานวณที่เปนการเกี่ยวโยงของแตละขั้นตอนนั้นจะเห็นไดวาไมเกี่ยวของกับการที่ขั้นตอนจะตอง เรียงลําดับกัน แตการคํานวณจะตองครบทุกขั้นตอนเทานั้น แตอยางไรก็ตาม ถาจะทําการคํานวณที่เปน การเกี่ยวโยงในแตละขั้นตอนโดยที่ขั้นตอนที่ไมเรียงลําดับกันนั้น การกําหนดสถานะ และตัวแปรตาง ๆ ที่เกี่ยวของทําไดยาก ดังนั้นในการคํานวณที่เปนการเกี่ยวโยงของปญหาที่ใชการโปรแกรมเชิงพลวัต ในการหาคําตอบที่

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 2:

Chapter 7 of dynamic programming (Dynamic Programming)
Dynamic Programming. The  techniques to mathematical  used  in solving  the  find the model that has n variables separated by an  Do Tro  the  find out the  in n stages (Stage) in. But  step  be illegal. The  the  lost  do with just  1 variant was  the  problems in the  step is the calculation that links the  succession (Recursive) since  procedure. first Until the final step . The link above will pass   the screen.  the contents of the status (State) of the system due to the strong   find the  are classified  broad  find out the steps needed to   the so sometimes it can . I had to call the   the problem is that the  differently . The multi-step program (Multistage Programming)
7.1.  organization comprised of dynamic programming models. In a series of dynamic programming. It consists of the following steps   with the status of the system, including alternative uses  decision (Decision Alternatives) in the  step. However, the FDA . These elements define  assembly  only.  difference varies, but could then    that the length of the  the  any problems. To  the access  of mind, consider the example  the Sub  following examples  than 7.1, the company's  one of the  J.  the plant's three factories in the  per year  the company.  but each will provide  Plant proposed investment plan to  company. The  in the factory, but   proposed plan. The investment amounts required to be  . (Page  with the  al  baht) and profit are expected to be the  . (Page  with the  al  baht) Table
Plans
plant 1 Investment income
2 factories investment earnings
Factory 3 Investment income 1 0 0 0 0 0 0 2 1 5 2 6. 1 4 3 2 8 3 8 2 6 4 3 9 - - - -
123
from  in  the company an amount of money that can be allocated for use  investment is  the amount of 5 million  value. Let the yawn  baht investment plan of the company will be selected from each plant were   income which will allow the Company   how to make the most profit from such problems   million.   can be seen that the number of ways to select an investment plan of the factory one, two and three times the  with 4, 3 and 3, respectively, and that means that the . The number of ways to select an investment plan. The  the whole plant, so only three of   with a 4 x 3 x 3 = 36 How do  However, some of the 36 ways how it is  the answer. At the  impossible  the  such  Factory No. 1 pick investments 4 2 factories option plan 3 and 3 factories option plan, the three can be seen  the  the amount of money spent.   total of 3 + 3 + 2 = 8  million baht, which is greater than the amount  the Company  by RespectSale"> reserved . To find out how your company is planning to invest 36 factories out of the way it can be seen that  the . In order to consider the way the    possible or impossible   the . And by the way, is  possible  the way to the  the best answer  less visible, clearly   that the procedures used in the   time. Therefore, to solve problems, so the    the required  techniques. Blackburn will   broad issues such as the export   fighting  lost  often. The AE   Do unto  the  lost  do it. Then, the answers to the problems .  an example to integration, to find answers to the problems  large . This principle is commonly used in the   generally called the . "Divide and conquer  separate (Divide and Conquer)" In this  Blackburn  broad issues such as   the news out of three stages in the  step  be a consideration. The amounts to be allocated to  with the  per plant mechanical  that is, to define the steps that j = factory j, j = 1, 2, 3 and  of determining the status of the system. But  step Specify the  by the  x1 is the amount of money that can be used  to invest  in step 1 x2 is the amount of money that can be used  investment. The  in steps 1 and 2 x3 is the amount of money that can be used  to invest  in step 1, 2 and 3 and the  kj the investment plans of the plant in step j,. j = 1, 2, 3 Rj (kj) is the profit that the  from the  plan kj step j, j = 1, 2, 3 cj (kj) is the number of investment when used.  plan kj step j, j = 1, 2, 3 fj (xj) is the profit that most of the steps 1, 2, ..., j with state xj, j = 1, 2,. 3 Amounts that can be used  to invest  in step 1 (x1) and investment plan that is  possible  (k1) by line  with the amount of such . The unit will  profit R1 (k1) Table
124
Step 1 R1 (k1) x1 k1 = 1 k1 = 2 k1 = 3 k1 = 4 f1 (x1) k1 * 0 0 - - - 0 1. 1 0 5 - - 5 2 2 0 5 8-8 3 3 0 5 8 9 9 4 4 0 5 8 9 9 4 5 0 5 8 9 9 4 Amounts that can be used  to invest . In step 1 and 2 (x2) investment plan is  possible  (k2) and the  profit from the use of such plans   million. With profit the most from the amount remaining and used  in step 1 in Table Step 2 R2 (k2) + f1 [x2 - c2 (k2)] x2 k2 = 1. k2 = 2 k2 = 3 f2 (x2) k2 * 0 0 + 0 = 0 - - 0 1 1 0 + 5 = 5 - - 5 1 2 0 + 8 = 8 6 + 0 = 6 - 8 1 3 0 + 9. = 9 to 6 + 5 = 11, 8 + 0 = 8 11 2 4 0 + 9 = 9 6 + 8 = 14 8 + 5 = 13 14 2 5 0 + 9 = 9 6 + 9 = 15 8 + 8 = 16 16 3. Amounts that can be used  to invest  in step 1, 2 and 3 (x3) investment plan is  possible  (k3) and profit at the  from using . investment plans with profit as possible out of the remaining money and apply  in step 2 are shown in Table
125
Step 3 R3 (k3) + f2 [x3 - c3 (k3)] x3. k3 = 1 k3 = 2 k3 = 3 f3 (x3) k3 * 5 0 + 16 = 16 4 + 14 = 18 6 + 11 = 17 18 2
from step 3 can be seen  the  the profits that much. Most of choosing their investment plan  Factory 3 of  to pour  to the 18 million  million baht Considering the investment plan of stages three and a  return to step 2 and step. The first summarized  the  the factory 3  required  investment plans 2 2 factories in  required  investment plans and 2nd plant 1  required  investment plans 3
7.2 Calculation. Concerning the format  retrospectively (Backward Recursion) from  less than 7.1 can be seen in the use of  the   dynamic programming to find the answers. The  find that the calculation of the model related  the  start from Step 1 to Step 3: Sort respectively. This is called  differently  the calculation of connection type b  the front  the (Forward Recursion) which, if  consideration to the calculation of the  the involvement of the  each step.   can be seen that none   associated with the procedure must be . Sort together  the calculation will be completed step  poured  only. But do   however. If  will be calculated at the  hrs. Involvement in the  step by step  not order it. Prescription Status And variables related to the system's    must be made ​​difficult. Thus, in calculating the  the involvement of   problems using dynamic programming. Finding answers

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 3:

Chapter 7 dynamic programming (Dynamic Programming)
.Dynamic programming In 2005, the techniques of mathematical competition in its value. You sleep problems and models have n variables by แยกย prescription to you to sleep and its problems out in 2002 n step (Stage) in the period, each step will qualify for a. You sleep and its loss with its just to its 1 variables.Its center (Recursive) since its first step until the last step. The links its rating จะผ neighbourhood, its status of Telecommunications (State). Of the system, due to financial problems you% during its period is BAE each problem out to qualify for its work process. So in บางครั้งจึง's group.Multi stage programming (Multistage Programming)
.7.1 compensation of the dynamic programming model On the model of dynamic programming Be attributed to the market and its stages of its work, the status of the system, including its value choice decision (Decision Alternatives) in each period, steps, however.Each different 2002 and 2004 period. In 2005, models of sleep problems. What to its profitability was the mind, consider their outstanding าง ratings here. For example, financial work 7.The company operating one 1 net 2002 J. 2004 3 factory factory in each period, 2002, the company will expand its period. The factory to offer securities investment plan to consider. This period, which in 2005 company its present plans. Invested by an amount to ta pharmacy.And the profits Internasional (times with its rating will qualify for each competition in the bath) as shown in the table
.The investment plan
Factory 1 investment profit
factory 2 investment profit
factory 3 investment profit 1 0 0 0 0 0 0 2 1 5 2 6 1 4 3 2 8 3 8 2 6 4 3 9 - - - - 123

.In this period, 2005, the amount can be allocated to use its chips in investment to qualify for the amount of money 5 depository million, and find out the rating companies will choose the investment plan of each period, the factory to make securities ratings much profit at most. How do from sleep. The beach are the ratings girl.1.2 3 and competition, with 4And 3 3 method, respectively, and that means rating, a number of methods that the company would choose investment plans, loans with factory and its 3 nets that competition with 4 x 3 x 3 = 36 ways. However, the 36 that way, some way that answer, 2002 2002 to 2005 SAE ratings period. The factory 1.4 factory 2 choose investment plan 3 and factory 3 choose investment plan 3 will see its rating. The amount of money used all its competition with 3 3 2 = 8 depository.) which was more increased the amount of the company จัดสรรไว ratings.36 in ways that will see its rating. To consider. Any way in 2002 to 2004 or 2002 to 2004. The ratings And from the way in 2002 to 2004 there any way to 2005 best answer, which saw its relatively clear ว size. Its step. A lot of time.Its key to BAE each beach are the ratings out to qualify for a long snap and lost its lease and its often had to you has lost its sleep. However, then the answer of sleep ญ. Financial อยไป integration to find answers to the problems. Its receivables. The principles of this size. Its popular use by general address. "BAE, separate and suppression (Divide.Conquer.) "in this period are the BAE each beach girl out ratings in 2002 3 steps. In the period, each step will qualify for a consideration. The amount of money to be allocated to each period, loans factory mechanical its debt is determines the step J = factory, jJ = 1 2,,3 diversification configuration, system status in the period, each step defines the ratings by loans X1 is the amount that can be ใช investment ratings in the process 1 x2. Is the amount of money that can be used in its securities investment in the process 1 2, and x31.2 3 loans and and kJ is investment plan of factory in step j j =,,, 1 2 3 Rj (kJ) was the profits from its ratings listed investment plans kJ step. J J =,,, 1 2 3 CJ (kJ) is the investment amount when its investment plans. KJ step j j = 1 2,,,3 FJ (XJ) is the profit that most of the steps,,, 1 2... J whose status XJ J = 1 2,,,