บทที่ 2เอกสารที่เกี่ยวข้อง ในการศึก

บทที่ 2
เอกสารที่เกี่ยวข้อง

ในการศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง “รากอนันต์ถอดได้ ง่ายนิดเดียว” ผู้จัดทำได้ศึกษาและรวบรวมแนวคิดต่างๆ จากเอกสารที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหาของโครงงาน ดังต่อไปนี้
1. สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง
1.1 หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 1.2 การพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
1.3 สมบัติของเลขยกกำลัง 1.4 รากที่ n
1.5 รากอนันต์ 1.6 สมการพหุนาม
1.7 ลำดับและอนุกรม
2. ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
1. สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง
1.1 หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
ในการศึกษาคณิตศาสตร์นั้น บางครั้ง จะพบแบบรูปที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็ม เช่น จากการสังเกตผลบวกของจำนวนคี่
1 = 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32

แล้วทำนายแบบรูปทั่วไปว่า 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 ซึ่งเราจะเรียกข้อความนี้ว่าข้อความคาดการณ์ (Conjecture) เราไม่สามารถทราบได้ว่า รูปแบบที่เราได้กำหนดมาเป็นจริงหรือเท็จ หากเราตรวจสอบโดย การแทนจำนวนเต็มเข้าไปทั้งหมดจะไม่สามารถทำได้ เพราะอาจมีกรณีใดกรณีหนึ่งที่ทำให้ข้อความคาดการณ์นี้เป็นเท็จซึ่งเราจะต้องเสียเวลาในการแทนค่า กว่าที่จะหากรณีที่จะให้เป็นเท็จได้ ซึ่งเราจะใช้หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ เป็นสัจพจน์ของเอปาโน (Peano Postulates) ข้อที่ 5 ซึ่งกล่าวว่า
ถ้า S เป็นเซตย่อยใด ๆ ของเซตของจำนวนนับ ซึ่งมีสมบัติดังนี้
1. 1 S 2.
1.2 การพิสูจน์โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
นิยาม กำหนดให้ N เป็นจำนวนเต็มบวก สำหรับ n∈ N และ P(n) เป็นข้อความในพจน์ของ n
P (1) เป็นจริง
ถ้า P (k) เป็นจริงแล้ว P (k+1) เป็นจริง แล้ว P(n) เป็นจริงทุกค่า n ∈ N
ในการพิสูจน์ข้อความ : สำหรับจำนวนนับ n ใดๆ P(n) เป็นจริง ซึ่งเขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์
เมื่อ P(n) คือ ข้อความที่เกี่ยวกับ n และ N แทนเซตของจำนวนนับ นั่นคือ N = { 1 , 2 , 3 , … }
สรุปได้ว่าการพิสูจน์ข้อความในแบบ โดยใช้หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เราจะต้องแสดง 2 ขั้นตอน คือ
1. แสดงว่า P (1) เป็นจริง (ขั้นตอนนี้เรียกว่า ขั้นฐานหลัก (basic step)
2. แสดงว่า เป็นจริง (ขั้นตอนนี้เรียกว่าขั้นตอนอุปนัย) (induction step)
ตัวอย่างที่ 1 จงใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ว่า 1 + 2 + 3 + … + n = สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ
วิธีทำ ให้ P (n) แทนข้อความ 1 + 2 + 3 + … + n = …… (1)
จะแสดงว่า P (1) เป็นจริง 1 =
1 = 1
เพราะฉะนั้น P (1) เป็นจริง
จะพิสูจน์ว่าถ้า P (k) เป็นจริงแล้ว P (k+1) จะเป็นจริงด้วย
ให้ P (k) เป็นจริง 1+2+3+ …+ k = ...…. (2)
จะแสดงว่า P (k+1) เป็นจริงนั่น คือ
1+2+3+ …+ k + (k+1) =
จาก (2) บวกด้วย (k+1) ทั้งสองข้างจะได้ว่า
1+2+3+ …+ k + (k+1) = + (k+1)
=
=
ดังนั้น ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) เป็นจริงด้วยจาก (1) และ (2) โดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
สรุปได้ว่า P(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก
หมายเหตุ (1) เรียกว่า ขั้นตอนฐานหลักและ (2) เรียกว่า ขั้นตอนอุปนัย
สรุปจากขั้นที่ 1 เราทราบว่า ข้อความคาดการณ์นี้เป็นจริง สำหรับค่า n = 1 และ จากขั้นที่ 2 เราทราบว่าต่อไปอีกว่า ถ้าข้อความคาดการณ์นี้จะเป็นจริง สำหรับค่า n = 1 + 1 = 2 ด้วย ทำนองเดียวกัน ก็จะเป็นจริงสำหรับ n = 2 + 1 = 3
และไปเรื่อยๆ นั่นคือ ถ้าขั้นตอน P(k + 1) เป็นเท็จ จะทำให้ข้อความอื่นๆ เท็จตามไปด้วย

1.3 สมบัติของเลขยกกำลัง
เลขยกกำลัง คือ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่งเขียนอยู่ในรูป ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวน คือ ฐาน a และเลขชี้กำลัง (หรือกำลัง) n การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำๆ กัน คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก เช่น


n ตัว
โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงเป็นตัวยกอยู่ด้านขวาของฐานจำนวน an อ่านว่า a ยกกำลัง n



ถ้า a เป็นจำนวนใด ๆ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว
1. (am)(an) = am + n 2. (am)n = amn
3. = am – n
4. a0 = 1
5. a-m =
6. (ab)n = anbn
1.4 รากที่ n
บทนิยาม ถ้า a และ x เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ที่มีค่ามากกว่า 1 และ x จะเป็น
รากที่ n ของ a ก็ต่อเมื่อ xn = a
จำนวนจริงที่เป็นรากที่ n ของ a อาจจะมีได้หลายค่า แต่จะมีจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง ซึ่งเราเรียกว่า จำนวนจริงหลักของรากที่ n ของ a และเขียนด้วยสัญลักษณ์
ถ้า a เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 แล้ว จะมีความหมาย ดังนี้
ตารางที่ 1 ตารางแสดงการหาค่ารากที่ n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ
n a > 0 a < 0 a = 0
จำนวนคู่ คือ รากที่ n
ที่เป็นบวกของ a ไม่เป็นจำนวนจริง
= 0

จำนวนคี่ คือ รากที่ n
ที่เป็นบวกของ a คือ รากที่ n
ที่เป็นลบของ a = 0


คือ รากที่ n ที่เป็นบวกของ a อ่านว่า กรณฑ์ที่ n ของ a หรือ ค่าหลักของ รากที่ n ของ a และเครื่องหมาย เรียกว่า เครื่องหมายกรณฑ์ เรียก n ว่า ลำดับหรือดัชนีของ กรณฑ์
ถ้า n เท่ากับสอง แล้วเขียน แทน

1.5 รากอนันต์
รากอนันต์มีลักษณะเป็นการติดค่ารากซ้อนกันไปแบบไม่รู้จบ รูปแบบของโจทย์ที่เป็นรากอนันต์ มี ดังนี้
รูปแบบที่ 1 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 2 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 3 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 4 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 5 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 6 การหารากอนันต์ของ
รูปแบบที่ 7 การหารากอนันต์ในรูปแบบของสมการ
รูปแบบที่ 8 การหารากอนันต์ในรูปแบบของสมการ


1.6 สมการพหุนาม (Polynomial Equations)
พหุนาม คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปเอกนามหรือผลบวกของเอกนามตั้งแต่ 2 เอกนามขึ้นไป สำหรับสมการพหุนามกำลังสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้ สามารถใช้สูตรได้ดังนี้
สมมติว่าโจทย์ คือ ax2 + bx + c = 0 คำตอบของสมการคือ
ตัวอย่าง จงแก้สมการพหุนาม x2 + 10x + 6 = 0
วิธีทำ จากสูตร
พบว่า a = 1 , b = 1 , c = 6



x
ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ และ
1.7 ลำดับและอนุกรม
ลำดับ (Sequence) นิยามของลำดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรก ซึ่งเรียกว่า ลำดับจำกัด ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก เรียกว่า ลำดับอนันต์
ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) ถ้า a1 , a2 , a3 , …, an , an + 1 เป็นจำนวนจริงที่เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตแล้ว จะมีสมบัติว่า a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an+1 – an = d เมื่อ d เป็นค่าคงตัว เรียก d ว่า “ผลต่างร่วม” พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต an = a1 + (n

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 1:

Chapter 2The associated document. In the study of mathematics project "Infinity Foundation, removable easy" make and collect ideas from various documents that are related to the content of the project. Any of the following: 1. the essence of learning mathematics involved.The main mathematical upnai 1.1 1.2 to prove the mathematical upnai.1.3 properties of powers of the roots n 1.4Infinite polynomial equation root 1.5 1.61.7 the sequence and series. 2. skills and mathematical processes.1. the essence of learning mathematics involved.1.1 main mathematical upnai In the study of mathematics, it is sometimes found, the image that is associated with an integer, i.e., the sum of the odd number. 1 = 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 And then predict the General image that 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 where we will get the message that the conjecture (Conjecture), we cannot tell whether we have given is true or false. If we check by replacing integer, all will not be able to do this because it may be the case that one of the causes of this conjecture is false, where we will have to waste time in value. To find out if you will, is false. We will be using the mathematical upnai. Upnai mathematical principles as the axiom of El Paris (Peano Postulates), 5 where it says. If S is a subset of any set of cardinality which contains the following properties. 1. 1 S 2. 1.2 mathematical proof by upnai The definition given N is a positive integer. For n ∈ N and P (n) is a text in terms of n. (1) P is true. If P (k) is true, then P (k + 1) is true, then P (n) is true for every n ∈ N. Proof text: for any n count P (n) is actually written as a symbol. When the P (n) is the message about the n and N represents the set of counts, that is, N = {1, 2, 3, ...}. Conclude that proof the text in the upnai mathematical principle, we will show the 2 step is. 1. show that P (1) is true (this process is called the main base (basic step) stage. 2. show that is true (this process is called upnai stage) (the induction step).For example, I use upnai mathematical proof that 1 + 2 + 3 + ... + n = 0 for any positive integers n. How to make the P (n) instead of 1 + 2 + 3 text + ... + n = America (1) Indicates that P (1) = 1 is true. 1 = 1 Therefore, P (1) is true. To prove that if P (k) is true, then P (k + 1) is true. Let P (k) 1 + 2 + 3 is actually + ...+ k = (2) ....... Indicates that P (k + 1) is true, that is. 1+2+3+ ...+ k + (k+1) = From (2) plus the (k + 1), both sides will have that. 1+2+3+ ...+ k + (k+1) = + (k+1) = = Therefore, if P (k) is true, then P (k + 1) is true, then (1) and (2) by means of mathematical upnai. P (n) to conclude that is true for all positive integers. Note: (1) the main base, and called the step (2) is called the upnai step. Summary from step 1, we know that this conjecture is true. For n = 1 and from step 2, we know that further that if this conjecture is true. For n = 1 + 1 = 2. Likewise, it is true for n = 2 + 1 = 3. And so on, that is, if the procedure P (k + 1) is false, other false will cause the text accordingly.1.3 properties of the number raised to a power.Exponentiation is a mathematical operation, one written as, which consists of a base, and the second number is the exponent (or) n. Exponentiation is repeated multiplication of a number n is a factor when n is positive, such as the. N Normally exponents are displayed as a superscript to the right of the reading that a number raised to a power n an. If a is any amount of m and n is a positive integer.1. (am)(an) = am + n 2. (am)n = amn 3. = am – n 4. a0 = 15. a-m = 6. (ab)n = anbn1.4 square root nChapter definitions. If a and x is a real number and n is a positive integer that is greater than 1, and x is. The square root of n, xn = a a. A real number that is a root of a n may have multiple values, but there will be a real number, which we called the main root of a real number n of a, and writing with symbols. If a is a real number and n is a positive integer that is greater than 1, it means the following:Table 1 shows the root n when n is any positive integer.n a > 0 a < 0 a = 0 Number of pairs are root n. That is not a positive real number. = 0Odd number is the square root n. The positive square root of a is n. The negative of a = 0 Is the positive square root of n a a n's reading that the kron or up a main root of n and n is called the mark kron called that sequence, or an index of kron? If n is equal to two and then write instead. 1.5 infinite rootsInfinite roots with nested root to install the. The format of the solution is infinite roots. Are as follows:1. find the pattern of infinity. 2. find the pattern of infinity. 3. find the pattern of infinity. 4. find the pattern of infinity. 5. find the pattern of infinity. 6. find the pattern of infinity. 7. find the model in the form of equations, infinite. The model 8, finding the roots of equations in the form of an infinite. 1.6 polynomial equation (Polynomial Equations). A polynomial is an expression that can be written as a sum of a monomial or a monomial monomial from 2 or more. For the quadratic polynomial equations that factor does not. The following formula can be used. Ax2 + bx solution is Let's say + c = 0 is the answer to the equation. For example, a polynomial equation solving Zhong x2 + 10x + 6 = 0. How to make the formula. It was found that a = b = 1, c = 1, 6. x Therefore, the answer to the equation is and. 1.7 the sequence and series.The order (Sequence) of a sequence is a function definition with the domain set of positive integers. The first, called a sequence of n limited. A sequence that contains the domain of positive integer set. Known as infinite series. Arithmetic sequence (Sequence Arithmetic) if a1, a2, a3, ..., an, an + 1. Is a real number which is the sequence, arithmetic properties of whether a1 a2 a2 – a3 – a4 – =. = a3 = ... = an + 1 = d when d is an-constant? D calls "variance together." General terms of an arithmetic sequence (n = a1 +.

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 2:

The two
documents related to the study of mathematics project entitled "Roots infinite removable. It's easy, "the report is to study and gather ideas. The documents related to the project. Following one. Learning mathematics involved 1.1. 1.2 Main mathematical induction to prove a mathematical induction 1.3. Properties of roots n exponent 1.4 1.5 1.6 Infinite root polynomial equation 1.7. Sequences and series two. Skills and mathematical processes first. Learning mathematics involved 1.1. The main mathematical induction in mathematics education, it can sometimes be an image associated with integers as the observed positive effect of odd numbers 1 = 1 = 12 , 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 then. predicting a figure that 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 which we refer to this as conjecture (Conjecture) we can not know for sure. The model we have determined to be true or false. If we examine the All the integer representation is not possible. You may have any of the forward-looking statements are false, which we must waste no time in lieu. Than to find the case to be false. We will use mathematical induction primary core mathematical induction. Spano's axioms (Peano Postulates) Article 5, which says that if S is any subset of the set of numbers. The properties are as follows: 1. 1 S 2. 1.2 proved by mathematical induction definition requiring N is a positive integer for n∈ N and P (n) n is a message in terms of P (1) is true if P (k) is true, then P (k. + 1) is true, then P (n) is true for all values ​​n ∈ N in the proof text for any numbers n P (n) is actually written in marker on P (n) is the message about n. and N denote the set of numbers that is N = {1, 2, 3, ...} concluded that proving a message. By using mathematical induction, we have to show two phases: 1. Show that P (1) is true (this process is called the main base (Basic Step) 2. Show that reality (this process is called a process. The inductive) (induction step) Example 1: Use mathematical induction to prove that 1 + 2 + 3 + ... + n = for positive integer n any way to P (n) instead of 1 + 2 + 3 + ... +. n = ...... (1) to show that P (1) is actually 1 = 1 = 1 Thus, P (1) is true, it proves that if P (k) is true, then P (k + 1) will be true with them. P (k) is actually 1 + 2 + 3 + ... + k = ... .... (2) shows that P (k + 1) is true, that is, 1 + 2 + 3 + ... + k + (k +. 1) = from (2) plus (k + 1) on both sides that 1 + 2 + 3 + ... + K + (K + 1) = + (K + 1) = = So, if P (k). Indeed, P (k + 1) is true of (1) and (2) by mathematical induction conclude that P (n) is true for every positive integer Note (1) is called the main base and (. 2) that the process of inductive inference from Step 1, we note that the conjecture is true for n = 1 and Step 2, we know that the next one. If the conjecture is true for n = 1 + 1 = 2 with similarly. It is true for n = 2 + 1 = 3 and so on, that is, if the P (k + 1) makes a false message. According to lie 1.3 Properties of Exponential Exponential is a mathematical operation like the one written in the form. Which includes two of the base a and the exponent (or are) n exponent is synonymous multiplying repeatedly is a multiplied the number n, where n is a positive integer, such as n the normally exponential display as a superscript. on the right side of a base of readers that an exponent n is a number, if any m and n are positive integers, then one. (AM) (an) = n + 2. AM (AM) n = amn = 3. AM - n 4. A0 = 1 AM = 5. 6. (AB) n = Anbn root of n 1.4 Definitions and if a. x is a real number and n is a positive integer. Is greater than 1, and x is a square root of n if xn = a real number that is a root of n may have multiple values. But is there a real number one. We called The actual number of root n of a written and a symbol if a real number and n is a positive integer greater than one would have the following meanings: Table 1 shows the determination of root n, where n is a positive integer. Any na> 0 a <0 a = 0 even number is the square root of n are positive of a non-real number = 0 odd number is the square root of n are positive of a root where n is cleared of a = 0. Is Roots n the positives of a pronounced root n of a value of n-th root of a mark and called a root called n sequence or the index of the root if n equals two, denoted 1.5 root infinite roots. Infinite appear to be attached to the root stacked endless. The format of the proposition that the root infinity are formed first find the root infinity of forms 2 to find the root infinity of forms 3 to find the root infinite forms four to find roots infinity of forms 5. The roots infinite forms 6. Finding roots infinite forms 7 to find the root infinity in the form of an equation form 8 to find the root infinity in the form of Equation 1.6 polynomial (Polynomial Equations. ) polynomial is an expression that can be written in the majors or the sum of the two majors signed up to the majors for quadratic polynomial factoring not. Use the following formula , assuming that the prosecution is ax2 + bx + c = 0 answer of the equation is an example. Solve the polynomial x2 + 10x + 6 = 0 made ​​from recipes found that a = 1, B = 1, C = 6 x the answer of the equation is, and 1.7, respectively, and serial number (Sequence) definition of the order. is a function whose domain is the set of positive integers n The first, called the order a limited number whose domain is the set of positive integers is called an infinite sequence arithmetic sequence (Arithmetic Sequence) if a1, a2, a3, ..., an, an +. 1 is a real number sequence is an arithmetic sequence then. The properties that a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ... = an + 1 - an = d where d is constant d call that "the difference" general terms of an arithmetic sequence an = a1 + (n.

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 3:

Chapter 2


in relevant documents study mathematics project on "infinite roots removable easy it" organizer study and collect concepts. From the documents related to the content of the project the following
1.Learning mathematics related
1.1 principle of mathematical induction 1.2 proved a อุปนัยเชิง mathematics
1.3 properties of exponential 1.4 roots. N
1.5 root 1.6 polynomial equation infinite sequences and series 2 1.7

.Mathematical skills and processes, 1
. Learning mathematics related
1.1. The principle of mathematical induction
in mathematics education. Sometimes will find patterns associated with integers, such as from observing the sum of odd number
.1 = 1 = 12
1 3 = 4 = 22
1 3 5 = 9 = 32

.Then the predicted patterns that 1 3 5... (2n - 1) = N2, which we will call this message that Euler (Conjecture), we can't know that We have given a true or false. If we check by.Because there may be a case of any one case that this conjecture is false, which will waste time in representation. To find the case to be false. We will use the principle of mathematical induction
.The principle of mathematical induction is the axiom of a PA Noh (Peano Postulates) Article 5 which said
if S is a subset of any set of number The treasure:
1. 1 S 2.
1.2 proof by mathematical induction
.According to the definition N is a positive integer, for N and ∈ N P (n) is a text in the image of the n
P (1) is actually a
if P (k) come true. P (K 1) is true, then P (n) is true for every value n ∈ N
proof text:For any cardinal number n P (n) is true, which were written in the symbol
when P (n) is the text about n N instead and set of cardinal number. That is N = {,,, 1 2 3...}
.It was concluded that prove the text in. By using the principle of mathematical induction, we need to show 2 steps
1. So P (1) is true (this process is called step the main base (basic. Step)
2.That is true (this step is called inductive step) (induction step)
example 1 use mathematical induction proves that 1. 2 3... N = for any positive integer n
how to make P (n) instead of text 1 2 3... N =...... (1)
.It shows that P (1) is actually a 1

so 1 = 1 P (1) is actually a
will prove that if P (k) come true P (K 1) will come true! To P (k) is actually a 1 2 3... K =...... (2)
will show P (K 1) is true that
1 2 3... K (K 1) =
.From (2) plus (K 1) both sides are that
1 2 3... K (K 1) = (K 1)


so if P (k) come true P (K 1). Come true from (1) and (2) by the method of mathematical induction
concluded that P (n) is true for all the full positive
.Note (1) called the process the main base and (2) called the inductive step
.Conclusion from the stage 1 we know This conjecture is true for n = 1 and from step 2 we know further that. If this conjecture is true for n = 1 1 = 2. Likewise, it will come true for n = 2 1 = 3
.And passive, that is, if the P (K 1) is false, will make other false too

1.3 properties of power cable.The power is the one in the form of mathematical writing, which contains two number is the base and a exponential (or are). N exponentiation multiplication means like repeated is a multiply is the n. When n.Such as
.


n body usually exponent are displayed as the lift is the right side of the base of an reads a power n



If a is any number m and N is a positive integer and
1. (AM) (an) = am N 2. (AM) n = amn
3. = am - n
4. A0 = 1

5. A-M 6. (AB) n = anbn
1.4 roots. N
.The definition, if a x and real numbers, and N is a positive integer greater than 1, and a
x root n of a when xn. A
.A real number that is the root of N A may have multiple values, but there will be a number of real numbers, which we call the real numbers of main root n. A and written symbols with
.If a real numbers and N is a positive integer greater than 1. Means:
ตารางที่ 1 table shows the determination of the roots. N when n is any positive integer
n a > 0 a < 0 a = 0
number is the root n
.Positive a not real numbers


= 0 odd number is the root n
positive a is n
at the root is negative of a = 0


.Is the root n positive a reads, sarcasm, that n of a or the core value of the roots of a n and marks, called the radical sign. Call n that sequence or the index of the square root
if n equal to two, then write instead


. 1.5 infinite rootsInfinite roots a stick the root overlap with endless. The form of a question is infinite roots are as follows: a 1 Finding Roots of a 2 การหาราก infinite infinite

a 3 finding roots of infinite of
.A 4 finding roots of a 5 infinite
for finding roots of a 6 infinite
infinite finding roots of
model 7 finding roots infinite in the form of equations.
a 8 finding the root form of the infinite in


1.6 polynomial equations (Polynomial Equations)
.Polynomial is the expression that can be written in the form of identity or sum of normal since 2 monomial or above. For the quadratic polynomial equation that factor, can use the formula as follows:
assuming the problem is AX2 BX C = 0 solution of the equation is
.For example, solve polynomial equations x2 10x 6 = 0

method. From the formula found that a =, =, 1 B 1 C = 6




X so the answer of mark. Is 1.7 sequence and series and

.Sequence (Sequence) definition of the sequence is a function whose domain is the set of positive integers n first, which is called finite sequence, the order in which they are domain is the set of positive integers. Called the infinite sequence
dinosaurs (Arithmetic Sequence) if A1 A2 A3,,,,, an...An 1 real numbers that are arranged in arithmetic progression, there will be a treasure that a2 - A1 = a3 - A2 = A4 - A3 =... = an 1 - an = D when. D is a constant called D that "common difference." "General of dinosaurs an = A1 (n.