คำศัพท์คณิตศาสตร์ทศนิยมซ้ำ คือจำนวน

คำศัพท์คณิตศาสตร์
ทศนิยมซ้ำ คือจำนวนตรรกยะอย่างหนึ่งในเลขฐานสิบ ที่มีตัวเลขบางชุดปรากฏซ้ำกันโดยไม่สิ้นสุด ซึ่งการซ้ำของตัวเลขอาจเกิดขึ้นก่อนหรือหลัง หรือคร่อมจุดทศนิยม และชุดตัวเลขที่ซ้ำกันอาจจะมีเพียงแค่ตัวเลขตัวเดียวก็ได้ ตัวอย่างเช่น 1/3 = 0.333333... (อ่านว่า ศูนย์จุดสาม สามซ้ำ)

สำหรับทศนิยมที่เขียนให้เลข 0 ตัวสุดท้ายซ้ำกันไปเรื่อยๆ ไม่ถือว่าเป็นทศนิยมซ้ำ เนื่องจากตำแหน่งของทศนิยมจะสิ้นสุดก่อนถึงเลข 0 ตัวสุดท้าย เพราะการเติมเลข 0 ซ้ำกันไปเรื่อยๆ นั้นไม่มีความจำเป็น คือไม่ทำให้ค่าของตัวเลขเปลี่ยนแปลงไปจากเดิม เช่น 0.56000000... = 0.56

ในกรณีพิเศษอย่างหนึ่งของทศนิยมซ้ำที่ไม่จำเป็น แต่บางครั้งก็มีประโยชน์ นั่นคือการซ้ำของเลข 9 เพียงตัวเดียว ซึ่งเลข 9 ที่ซ้ำทั้งหมดสามารถละทิ้งได้และเพิ่มค่าหลักที่อยู่ก่อนหน้าขึ้นไปหนึ่ง เช่น 0.999999... = 1 หรือ 1.77999999... = 1.78 โดยทั่วไปแล้ว รูปแบบการซ้ำของเลข 9 ใช้อธิบายว่าจำนวนมีที่มาอย่างไร หรือเพื่อแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ที่น่าสนใจ อาทิ 1 = 3/3 = 3 × 1/3 = 3 × 0.333333... = 0.999999... ดูเพิ่มที่ 0.999...

ทศนิยมในประเภทอื่นมี ทศนิยมรู้จบ และทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ

ทศนิยมรู้จบ คือจำนวนตรรกยะที่สามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนอย่างต่ำในรูปแบบ ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม และตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์
ทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ คือจำนวนอตรรกยะ ซึ่งไม่สามารถเขียนแทนด้วยอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้
เนื้อหา  [ซ่อน] 
1 สัญกรณ์
2 เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะ
3 การสร้างเศษส่วนจากทศนิยมซ้ำ
3.1 วิธีลัด
4 แหล่งข้อมูลอื่น
สัญกรณ์[แก้]
ในการเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปแบบที่อ่านง่าย ทำได้โดยการเติมขีดแนวนอน (vinculum) ไว้เหนือกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำกัน เช่น หรือเติมจุดไว้เหนือกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำ ในตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้าย เช่น อย่างไรก็ตาม การใช้จุดประ 3 จุด (…) เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการนำเสนอทศนิยมซ้ำ ถึงแม้ว่ายังไม่มีคำแนะนำว่าจะต้องเขียนชุดเลขที่ซ้ำมาก่อนกี่ครั้ง ตัวอย่างเช่น

1/9 = 0.111111111111…
1/7 = 0.142857142857…
1/3 = 0.333333333333…
1/81 = 0.0123456790…
2/3 = 0.666666666666…
7/12 = 0.58333333333…
ในแถบยุโรปมีการใช้สัญกรณ์อย่างอื่นที่ต่างออกไป คือใช้เครื่องหมายวงเล็บล้อมรอบชุดตัวเลขที่ซ้ำ เช่น

2/3 = 0. (6)
1/7 = 0. (142857)
7/12 = 0.58 (3)
เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะ[แก้]
ในเศษส่วนอย่างต่ำที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะหนึ่งจำนวน p ที่นอกเหนือจาก 2 และ 5 (ซึ่งเป็นคู่จำนวนเฉพาะของ 10) จะมีค่าเป็นทศนิยมซ้ำเสมอ ซึ่งช่วงของการซ้ำในตัวเลขของ 1/p จะอยู่ที่ p − 1 (เป็นกลุ่มที่หนึ่ง) หรือเท่ากับตัวหารตัวใดตัวหนึ่งของ p − 1 (เป็นกลุ่มที่สอง) อย่างใดอย่างหนึ่ง

ตัวอย่างเศษส่วนในกลุ่มแรกมีดังนี้

1/7 = 0.142857…; 6 หลักซ้ำกัน
1/17 = 0.0588235294117647…; 16 หลักซ้ำกัน
1/19 = 0.052631578947368421…; 18 หลักซ้ำกัน
1/23 = 0.0434782608695652173913…; 22 หลักซ้ำกัน
1/29 = 0.0344827586206896551724137931…; 28 หลักซ้ำกัน
ซึ่งรวมไปถึงเศษส่วน 1/47, 1/59, 1/61, 1/97, 1/109 ฯลฯ

การคูณบนเศษส่วนในกลุ่มที่หนึ่ง ได้แสดงคุณสมบัติพิเศษอย่างหนึ่งที่น่าสนใจ เช่น

2/7 = 2 × 0.142857… = 0.285714…
3/7 = 3 × 0.142857… = 0.428571…
4/7 = 4 × 0.142857… = 0.571428…
5/7 = 5 × 0.142857… = 0.714285…
6/7 = 6 × 0.142857… = 0.857142…
ซึ่งดูเหมือนว่า ตัวเลขที่ซ้ำกันในผลคูณจะได้มาจากการเลื่อนวนของ 1/7 แต่สาเหตุที่ทำให้เกิดพฤติกรรมการเลื่อนวนนั้นมาจากการคำนวณเลขคณิตในตัวเลขหลังทศนิยมเท่านั้น ซึ่งเศษส่วนในกลุ่มที่หนึ่งตัวอื่นๆ เช่น 1/17, 1/19, 1/23 ฯลฯ จะมีคุณสมบัติพิเศษเหล่านี้ด้วยเช่นกัน

เศษส่วนในกลุ่มที่สอง คือเศษส่วนที่นอกเหนือจากกลุ่มที่หนึ่งตามเงื่อนไขในตอนต้น อาทิ

1/3 = 0.333…; 1 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 1 เป็นตัวหารของ 2
1/11 = 0.090909…; 2 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 2 เป็นตัวหารของ 10
1/13 = 0.076923…; 6 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 6 เป็นตัวหารของ 12
โปรดสังเกตว่า การคูณเศษส่วน 1/13 ก็สามารถเกิดการเลื่อนวนในตัวเลขที่ซ้ำกัน และจะแบ่งออกเป็นสองชุด ชุดแรกได้แก่

1/13 = 0.076923…
3/13 = 0.230769…
4/13 = 0.307692…
9/13 = 0.692307…
10/13 = 0.769230…
12/13 = 0.923076…
และอีกชุดหนึ่งได้แก่

2/13 = 0.153846…
5/13 = 0.384615…
6/13 = 0.461538…
7/13 = 0.538461…
8/13 = 0.615384…
11/13 = 0.846153…
การสร้างเศษส่วนจากทศนิยมซ้ำ[แก้]
บนทศนิยมซ้ำใดๆ สามารถคำนวณเพื่อเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ดังตัวอย่าง


หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง


และเมื่อทศนิยมซ้ำสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ทศนิยมซ้ำจึงเป็นจำนวนตรรกยะเสมอ

วิธีลัด[แก้]
ถ้าทศนิยมซ้ำมีค่าอยู่ระหว่าง 0.1 ถึง 1 และมีตัวเลขที่ซ้ำกันเป็นจำนวน n หลักทางขวาของจุดทศนิยม เราจะเขียนเศษส่วนได้โดยให้ตัวเศษเป็นชุดของตัวเลขที่ซ้ำ และเติมตัวส่วนเป็นเลข 9 จำนวน n ตัว เช่น

0.444444… = 4/9 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "4" ซึ่งมี 1 หลัก
0.565656… = 56/99 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "56" ซึ่งมี 2 หลัก
0.789789… = 789/999 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "789" ซึ่งมี 3 หลัก
ถ้าทศนิยมซ้ำมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 0.1 และมีเพียงเลข 0 จำนวน k หลัก นำหน้าชุดเลขซ้ำ n หลัก (ทั้งหมดต้องอยู่ทางขวาของจุดทศนิยม) ดังนั้นตัวเศษจะเป็นชุดเลขซ้ำ และตัวส่วนประกอบด้วยเลข 9 จำนวน n ตัว และเพิ่มเลข 0 จำนวน k ตัวลงไปด้วย เช่น

0.000444… = 4/9000 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "4" และนำด้วย "0" จำนวน 3 หลัก
0.005656… = 56/9900 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "56" และนำด้วย "0" จำนวน 2 หลัก
0.0789789… = 789/9990 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "789" และนำด้วย "0" จำนวน 1 หลัก
สำหรับทศนิยมอื่นที่นอกเหนือจากนี้ สามารถเขียนเป็นการบวกของทศนิยมรู้จบ กับทศนิยมซ้ำในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งดังที่กล่าวไว้แล้ว ดังตัวอย่าง

1.23444… = 1.23 + 0.00444… = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
0.3789789… = 0.3 + 0.0789789… = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665
อย่างไรก็ตาม การใช้วิธีลัดจะยังไม่ให้ผลเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ซึ่งจะต้องทำการลดทอนต่อไปด้วยตัวเอง

หมายเหตุ 0.999999999 ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ยกเว้นส่วนหนึ่ง

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 1:

Math vocabularyRepeating decimals are rational numbers in decimal with numbers, some women appear duplicated without end that duplicate numbers may occur before or after the decimal point, and a cross or the duplicate numbers may be just a single digit only. For example, 1/3 = 0.333333 ... three point zero (read. Three repeats)For example, the decimal number from 0 to the last write is not unique to just be treated as decimal, decimal positions because duplicates will end before the last number 0, because completing the number 0 is not unique so it is not necessary is not made up of a number of changes from the original, such as 0.56000000 ... = 0.56.In the special case of unnecessary repeated decimal, but sometimes it can be useful, it is only one of the 9 number 9 number in which all the duplicate can be discarded and add up to one or more preceding principles such as 1.77999999 or 1 = 0.999999 ... ... = 1.78 in General. The format of the number 9 is used to describe how many are coming, however, or to illustrate an interesting relationships, such as 1 = 3/3 = 3 × 1/3 = 3 × 0.333333 ... = 0.999999 ... see 0.999 ...There are other types of decimals in integer, decimal, decimal and endlessly unique.Decimals is the number of studies the rational knowledge can be represented by minimum fractions written in formats that the numerator and denominator are integers, and the denominator is equal to zero.Non-repeating decimal endlessly is irrational, which can't be written instead by the ratio of two integers.Contents [Hide] 1 notation2 the fraction with the denominator as a specific amount.3 create a fraction from repeating decimal3.1 how to shortcut.4 other sourcesNotation [solved]To write the decimal repeats, in easy-to-read format. To do this, fill the horizontal tick (vinculum) above duplicate numbers, such as group or a dot above the numeric group duplicates. At the beginning and end, however, the use of dots 3 dots (...) is the easiest way to repeating decimal presentations. Although there is no suggestion that the repeat number set must be written before a few times. For example,1/9 = 0.111111111111 ...1/7 = 0.142857142857 ...1/3 = 0.333333333333 ...1/81 = 0.0123456790 ...2/3 = 0.666666666666 ...7/12 = 0.58333333333 ...In Europe there are other notation is used differently. Is to use parentheses around the set of digits that repeat, such as?2/3 = 0. (6)1/7 = 0. (142857)7/12 = 0.58 (3)เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะ[แก้]ในเศษส่วนอย่างต่ำที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะหนึ่งจำนวน p ที่นอกเหนือจาก 2 และ 5 (ซึ่งเป็นคู่จำนวนเฉพาะของ 10) จะมีค่าเป็นทศนิยมซ้ำเสมอ ซึ่งช่วงของการซ้ำในตัวเลขของ 1/p จะอยู่ที่ p − 1 (เป็นกลุ่มที่หนึ่ง) หรือเท่ากับตัวหารตัวใดตัวหนึ่งของ p − 1 (เป็นกลุ่มที่สอง) อย่างใดอย่างหนึ่งตัวอย่างเศษส่วนในกลุ่มแรกมีดังนี้1/7 = 0.142857…; 6 หลักซ้ำกัน1/17 = 0.0588235294117647…; 16 หลักซ้ำกัน1/19 = 0.052631578947368421…; 18 หลักซ้ำกัน1/23 = 0.0434782608695652173913…; 22 หลักซ้ำกัน1/29 = 0.0344827586206896551724137931…; 28 หลักซ้ำกันซึ่งรวมไปถึงเศษส่วน 1/47, 1/59, 1/61, 1/97, 1/109 ฯลฯการคูณบนเศษส่วนในกลุ่มที่หนึ่ง ได้แสดงคุณสมบัติพิเศษอย่างหนึ่งที่น่าสนใจ เช่น2/7 = 2 × 0.142857… = 0.285714…3/7 = 3 × 0.142857… = 0.428571…4/7 = 4 × 0.142857… = 0.571428…5/7 = 5 × 0.142857… = 0.714285…6/7 = 6 × 0.142857… = 0.857142…ซึ่งดูเหมือนว่า ตัวเลขที่ซ้ำกันในผลคูณจะได้มาจากการเลื่อนวนของ 1/7 แต่สาเหตุที่ทำให้เกิดพฤติกรรมการเลื่อนวนนั้นมาจากการคำนวณเลขคณิตในตัวเลขหลังทศนิยมเท่านั้น ซึ่งเศษส่วนในกลุ่มที่หนึ่งตัวอื่นๆ เช่น 1/17, 1/19, 1/23 ฯลฯ จะมีคุณสมบัติพิเศษเหล่านี้ด้วยเช่นกันเศษส่วนในกลุ่มที่สอง คือเศษส่วนที่นอกเหนือจากกลุ่มที่หนึ่งตามเงื่อนไขในตอนต้น อาทิ1/3 = 0.333…; 1 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 1 เป็นตัวหารของ 21/11 = 0.090909…; 2 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 2 เป็นตัวหารของ 101/13 = 0.076923…; 6 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 6 เป็นตัวหารของ 12โปรดสังเกตว่า การคูณเศษส่วน 1/13 ก็สามารถเกิดการเลื่อนวนในตัวเลขที่ซ้ำกัน และจะแบ่งออกเป็นสองชุด ชุดแรกได้แก่1/13 = 0.076923…3/13 = 0.230769…4/13 = 0.307692…9/13 = 0.692307…10/13 = 0.769230…12/13 = 0.923076…และอีกชุดหนึ่งได้แก่2/13 = 0.153846…5/13 = 0.384615…6/13 = 0.461538…7/13 = 0.538461…8/13 = 0.615384…11/13 = 0.846153…การสร้างเศษส่วนจากทศนิยมซ้ำ[แก้]บนทศนิยมซ้ำใดๆ สามารถคำนวณเพื่อเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ดังตัวอย่างหรืออีกตัวอย่างหนึ่งและเมื่อทศนิยมซ้ำสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ทศนิยมซ้ำจึงเป็นจำนวนตรรกยะเสมอวิธีลัด[แก้]ถ้าทศนิยมซ้ำมีค่าอยู่ระหว่าง 0.1 ถึง 1 และมีตัวเลขที่ซ้ำกันเป็นจำนวน n หลักทางขวาของจุดทศนิยม เราจะเขียนเศษส่วนได้โดยให้ตัวเศษเป็นชุดของตัวเลขที่ซ้ำ และเติมตัวส่วนเป็นเลข 9 จำนวน n ตัว เช่น0.444444… = 4/9 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "4" ซึ่งมี 1 หลัก0.565656… = 56/99 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "56" ซึ่งมี 2 หลัก0.789789… = 789/999 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "789" ซึ่งมี 3 หลักถ้าทศนิยมซ้ำมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 0.1 และมีเพียงเลข 0 จำนวน k หลัก นำหน้าชุดเลขซ้ำ n หลัก (ทั้งหมดต้องอยู่ทางขวาของจุดทศนิยม) ดังนั้นตัวเศษจะเป็นชุดเลขซ้ำ และตัวส่วนประกอบด้วยเลข 9 จำนวน n ตัว และเพิ่มเลข 0 จำนวน k ตัวลงไปด้วย เช่น
0.000444… = 4/9000 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "4" และนำด้วย "0" จำนวน 3 หลัก
0.005656… = 56/9900 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "56" และนำด้วย "0" จำนวน 2 หลัก
0.0789789… = 789/9990 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "789" และนำด้วย "0" จำนวน 1 หลัก
สำหรับทศนิยมอื่นที่นอกเหนือจากนี้ สามารถเขียนเป็นการบวกของทศนิยมรู้จบ กับทศนิยมซ้ำในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งดังที่กล่าวไว้แล้ว ดังตัวอย่าง

1.23444… = 1.23 + 0.00444… = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
0.3789789… = 0.3 + 0.0789789… = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665
อย่างไรก็ตาม การใช้วิธีลัดจะยังไม่ให้ผลเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ซึ่งจะต้องทำการลดทอนต่อไปด้วยตัวเอง

หมายเหตุ 0.999999999 ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ยกเว้นส่วนหนึ่ง

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 3:

The vocabulary of mathematics
.Repeating decimal is rational one in number. With some figures series is repeated without end. The repetition of numbers may occur before or after or straddle the decimal point.For example, 1 / 3 = 0.333333... (pronounced zero point three, three replications)

.For decimal number 0 wrote last again and so on. Not considered a non-singular matrix. Because the position of the decimal number will end before the last 0 because adding number 0 repeat it louder. Isn't necessary.Such as 0.56000000... =? 0.56

in the case of a special kind of non-singular matrix, unnecessary, but sometimes, it is useful that is repeated a number of 9 only, which number 9 repeated can all be abandoned and add value to the main address before or above one. Such as 0.999999... = 1 or 1.77999999... = 1.78 generally form duplicates of 9 explain that the number is how? Or to demonstrate the relationship between attractions such as the 1 = 3 / 3 = 3 × 1 / 3 = 3 × 0.333333... = 0.999999... See more 0.999...

.