A relation between partitions and t

A relation between partitions and the number of divisors
Wang Zheng Bing (Delft), Robbert Fokkink (Delft)
and Wan Fokkink (Amsterdam)
A sum of positive natural numbers adding up to n is called a partition of n. For
instance, 1+2+4 is a partition of 7. As none of the summands 1, 2, 4 are equal, this
is called a partition into unequal parts. There are five partitions of 7 into unequal
parts:
1 + 2 + 4, 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 7.
Since the partitions 1 + 2 + 4 and 7 contain an odd number of summands, they are
called odd partitions, whereas the other three partitions are called even. Add the
smallest numbers of the odd partitions, 1 + 7 = 8, and do the same for the smallest
numbers of the even partitions, 1 + 2 + 3 = 6. The difference between these two
sums, 8 − 6 = 2, is exactly the number of divisors of the prime 7.
In the sequel, p(n) denotes the sum of the smallest numbers of odd partitions of
n minus the smallest numbers of even partitions of n, and d(n) denotes the number
of divisors of n. For small numbers n, it is easy to check that p(n) equals d(n). This
is not a coincidence; we shall see that it is a general relation between the smallest
numbers of partitions into unequal parts and the number of divisors.
Theorem. p(n) = d(n) for all positive natural numbers n.
In order to prove this theorem, we introduce the sum of polynomial quotients
Pn(X) =
nX−1
i=0
(1 − Xi+1)(1 − Xi+2). . .(1 − Xn
)
1 − Xn−i
for positive natural numbers n. At each consecutive quotient, the degree of the
denominator decreases by one, and the leftmost factor in the numerator drops out.
Fix an m = 1, ..., n. We shall show that the coefficient αm for Xm in Pn(X) equals
d(m) − p(m).
First, we determine the contributions from the separate quotients of Pn(X) to αm.
Fix an i = 0, ..., n−1, and replace the denominator 1/(1− Xn−i
) in the ith quotient
of Pn(X) by its power series (which converges for |X| < 1). Hence, the ith quotient
of Pn(X) takes the form
(1 − Xi+1). . .(1 − Xn
)(1 + Xn−i + X2(n−i) + . . .).
Since m ≤ n, the contributions from this product to αm stem either from (1 −
Xi+1). . .(1 − Xn
) or from (1 + Xn−i + X2(n−i) + . . .). Now, we collect the contributions
to αm of these two types of terms.

ผลลัพธ์ (เยอรมัน) 1:

Eine Beziehung zwischen Partitionen und die Anzahl der TeilerWang Zheng Bing (Delft), Robbert Fokkink (Delft)und Wan Fokkink (Amsterdam)Summe der positiven natürlichen Zahlen summieren sich zu n ist eine Partition von n. für bezeichnet.Instanz, 1 + 2 + 4 ist eine Partition von 7. da keiner der die Summanden 1, 2, 4 sind gleich, diesnennt man eine Partition in ungleiche Teile gibt es fünf Partitionen von 7 in ungleichTeile:1 + 2 + 4, 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 7.Da die Partitionen 1 + 2 + 4 und 7 eine ungerade Anzahl von Summanden enthalten, sind Sieungerade Partitionen genannt, während die anderen drei Partitionen selbst aufgerufen werden. Hinzufügen derkleinste Zahl ungerade Partitionen, 1 + 7 = 8, und machen Sie dasselbe für die kleinstenZahlen der sogar Partitionen, 1 + 2 + 3 = 6. der Unterschied zwischen diesen beidenSummen, 8 − 6 = 2, ist genau die Anzahl der Teiler von Prime 7.In der Folge bezeichnet Infektionsziel die Summe der kleinsten Zahlen ungerade Teilungenabzüglich der kleinsten Zahlen sogar Partitionen von n und d(n) n bezeichnet die Anzahlder Teiler von n für kleine Zahlen n ist es einfach, überprüfen Sie, dass Infektionsziel d(n). Dies entsprichtist kein Zufall, wir werden sehen, dass es eine allgemeine Beziehung zwischen der kleinsten istdie Zahl der Partitionen in ungleiche Teile und die Anzahl der Teiler.Theorem. Infektionsziel = d(n) für alle positiven natürlichen Zahlen n.Um dieses Theorem beweisen, stellen wir die Summe der Quotienten PolynomPN(X) =nX−1Ich = 0(1 − Xi + 1) (1 − Xi + 2).. (1 − Xn)1 − Xn−ifür positiven natürlichen Zahlen n. an jeder aufeinanderfolgenden Quotienten, das Maß derNenner verringert sich um eins, und der linke Faktor in die Zähler-Tropfen heraus.Verlegenheit eine m = 1,..., n wir zeigen werden, dass der Koeffizient αm für Xm in Pn(X) entspricht.d(m) − p(m).Zunächst bestimmen wir die Beiträge der separaten Quotienten von Pn(X) zur αm.Verlegenheit ein i = 0, …, n−1, und ersetzen Sie die Nenner 1-/(1− Xn−i) in der Ith-Quotientvon Pn(X) durch seine Power-Serie (die für |X| < 1 konvergiert). also, der Ith-Quotientvon Pn(X) hat die form(1 − Xi + 1).. (1 − Xn) (1 + Xn−i + X2(n−i) +...).Seit m ≤ n stammen die Beiträge dieses Produkt zur αm entweder von (1 −XI + 1).. (1 − Xn) oder aus (1 + Xn−i + X2(n−i) +...). nun sammeln wir die Beiträgezu αm dieser zwei Arten von Begriffen.

ผลลัพธ์ (เยอรมัน) 2:

Eine Beziehung zwischen Partitionen und die Anzahl der Teiler
Wang Zheng Bing (Delft), Robbert Fokkink (Delft)
und Wan Fokkink (Amsterdam)
Eine positive Summe der natürlichen Zahlen Hinzufügen von bis zu n von n wird als Partition. Zum
Beispiel 1 + 2 + 4 ist eine Partition von 7. Keine der Summanden wie 1, 2, 4 gleich sind, dies
ist eine Partition in zwei Teile ungleichen aufgerufen. Fünf von 7 Partitionen es ungleich In
Teile:
1 + 2 + 4, 6 + 1, 2 + 5, 3 + 4, 7.
Da 1 + 2 + 4 und die Trennwände 7 enthalten eine ungerade Anzahl von Summanden, werden sie
aufgerufen. odd-Partitionen, während die anderen drei Partitionen werden auch genannt. In der
Kleinste der ungeraden Zahlen Partitionen, 1 + 7 = 8, und das Gleiche tun für die kleinsten
Nummern der auch Partitionen, 1 + 2 + 3 = 6. Der Unterschied zwischen diesen beiden
Beträgen, 8-6 = 2 ist. Anzahl der genau den Teiler von Anfangs 7.
In der Fortsetzung, P (n) bezeichnet die Summe der kleinste ungerade Zahlen der Partitionen von
n minus der kleinsten Zahl der sogar Partitionen von n und D (n) bezeichnet die Anzahl
der Teiler. n. Für eine kleine Zahl n, ist es einfach, dass p zu überprüfen (n) gleich d (n). Dies
ist kein Zufall; Werden wir sehen, dass es eine allgemeine Beziehung zwischen dem kleinsten
Zahlen ungleich Partitionen in die Anzahl der Teile und Teiler.
Theorem. P (n) = D (n) für alle positive natürliche Zahlen n.
Um diesen Satz zu beweisen, führen wir die Summe der Polynom-Quotienten
Pn (X) =
Nx-1
I = 0
(1 - Xi + 1) (1. - Xi + 2). . . (1 -
Xn)
1 - Xn-I
für positive n natürliche Zahlen sind. Jede der aufeinanderfolgenden Quotienten der Grad des
Nenners wird um eins verringert, und der am weitesten links liegenden Faktor im Zähler fällt ab.
Befestigen eines M = 1, ..., n. Sollen wir zeigen, dass der Koeffizient & agr; M für Xm in Pn (X) gleich
D (M) -. P (M)
Zuerst bestimmen wir die Beiträge der Separate Quotienten Pn (X), um & agr; M.
Befestigen Sie ein I = 0 ,. .., n-1, und ersetzen Sie den Nenner 1 /
(1-Xn-I) in der i-ten Quotienten
von Pn (X) durch seine Power Series (die für konvergiert | X | <1). Daher ist die i-te Quotient
von Pn (X) die Form
(1 - Xi + 1). . . (1 -
Xn). (Xn-1 + I + X2 (N-I) + ...)
Da M ≤ n, die Beiträge von diesem Produkt zu & alpha; m STEM entweder von (1 -
Xi + 1). . . (1 -
Xn) oder (1 + I + Xn-X2 (N-I) + ...). Jetzt sammeln wir die Beiträge
um & agr; M Zwei dieser Arten von Begriffen.

ผลลัพธ์ (เยอรมัน) 3:

A Number of partitions BEZIEHUNGEN und Bing divisor Zheng Wang (Delft)

, Robert Fokkink (Delft) und Fokkink Bay.(a) und positive (Amsterdam
n IST eine natürliche den zusatz bis zu Zahlen von a partition. ALS beispiel, 2 4: 1 IST eine partition.ALS unübertroffen. 7) und so weiter, das ist summands 1,2,4 -
a partition IST ALS Region partitions Hat fünf Teile.Zubehör: Region (7

1, 2, 4, 4 partitions 25,27 5,3
1 2 4 7 number of enthalten selbst und weiß, sie Sind summands
Sie Wissen, partitions whereas hinzugefügt wurde Oder sogar drei partitions verwendet werden. Die überraschung partitions
17 = 8, und die gleichen kleinste
zu Tun, auch wenn partitions Zahlen = 1, 2 3 6). Diese unterschiede, zwei 8
sums 2, 6 = −Ja Ja 7 number of
divisor Fortsetzung. Original in K, p (n) die kleinste bezeichnet die funktion bekannt partitions Numbers ofKleinste of Numbers of
n Minus, auch wenn partitions) und d (n)
(- bezeichnet die Zahl der dividende Zahlen für die Kleinen.Das ist Leicht zu überprüfen, und P (n) n - D - A. Equals (). Das ist nicht Zufall
; WIR werden sehen, es ist eine solche Regelung Allgemeine BEZIEHUNGEN.Die kleinste
Partitions Numbers of number of Region Komponenten und ALS divisor THEOREM..
P (n) = D (n) alle positive natürliche ZahlenIn der bestellung zu beweisen. Das THEOREM
führen WIR polynom summe PN quotients

(- 1) = X
i = 0 NX
(1 − XI XI) (1) (1, 2,...X n

1 − − − i)
x n positiv. In Allen natürlichen consecutive quotient Zahlen von Grad, denominator decreases
Ein.