An explicit formula for this functi

An explicit formula for this function is proved.
In some particular cases, simpler explicit formuls are derived. We also derive a formula for the number of (0,1)-matrices, having a fixed number of 1's, and having no zero rows and zero columns.
Further, we show that our function satisfies several recurrence relations.
The relationship of our counting function with different classes of integers is then examined. These classes include: different kind of figurate numbers, the number of points on the surface of a square pyramid, the magic constants, the truncated square numbers, the coefficients of the Chebyshev polynomials, the Catalan numbers, the Dellanoy numbers, the Sulanke numbers, the numbers of the coordination sequences, and the number of the crystal ball sequences of a cubic lattice.
In the last part of the paper, we prove that several configurations are counted by our function. Some of these are: the number of spanning subgraphs of the complete bipartite graph, the number of square containing in a square, the number of coloring's of points on a line, the number of divisors of some particular numbers, the number of all parts in the compositions of an integer, the numbers of the weak compositions of integers, and the number of particular lattice paths.
We conclude by counting the number of possible moves of the rook, bishop, and queen on a chessboard.
The most statements in the paper are provided by bijective proofs in terms of insets, which are defined in the paper. With this we want to show that different configurations may be counted by the same method

ผลลัพธ์ (เยอรมัน) 1:

Eine explizite Formel für diese Funktion wird nachgewiesen. In einigen bestimmten Fällen ergeben sich einfacher explizite Formuls. leiten wir auch eine Formel für die Anzahl von (0,1)-Matrizen, haben eine feste Anzahl von 1 und über keine NULL Zeilen und 0 (null) Spalten. Darüber hinaus zeigen wir, dass unsere Funktion mehrere DIFFERENZENGLEICHUNGEN erfüllt. Das Verhältnis von unserer Zählung-Funktion mit verschiedenen Klassen von Ganzzahlen wird dann untersucht. diese Klassen umfassen: andersartige figurierte Zahlen, die Anzahl der Punkte auf der Oberfläche einer quadratischen Pyramide, die magischen konstanten Koeffizienten die Tschebyschow-Polynome, die katalanischen Zahlen, die Dellanoy Zahlen, die Sulanke Zahlen, die Zahlen der Koordinierung Sequenzen, abgeschnittenen Quadratzahlen und die Anzahl der Kristallkugel Sequenzen von einem kubischen Gitter.Im letzten Teil des Papiers, wir beweisen, dass mehrere Konfigurationen durch unsere Funktion. gezählt werden, einige davon sind: die Anzahl der spanning Teilgraphen von der vollständigen bipartite Graphen, die Anzahl der in einem Quadrat Quadrat mit, die Anzahl der Färbung von Punkten auf einer Linie, die Anzahl der Teiler von einigen bestimmten Zahlen, die Anzahl aller Teile in den Kompositionen von Integer, die Zahlen der schwachen Kompositionen von Ganzzahlen und die Anzahl der bestimmten Gitter Pfade. Wir abschließend zählen die Anzahl der möglichen Züge des Turm, der Bischof und der Königin auf einem Schachbrett. Die meisten Anweisungen in dem Papier werden durch bijektive Beweise in Bezug auf die Einsätze, bereitgestellt, die in Papier. mit diesem definiert sind, wir wollen zeigen, dass unterschiedliche Konfigurationen nach derselben Methode gezählt werden kann

ผลลัพธ์ (เยอรมัน) 2:

Eine explizite Formel für diese Funktion ist bewiesen.
In einigen Fällen sind insbesondere einfachere Explizite Formuls abgeleitet. Wir leiten auch eine Formel für die Anzahl der (0,1) Matrizen, mit einer festen Anzahl von 1-en, und die keine Zero Zero Spalten und Zeilen.
Außerdem zeigen wir, dass unsere Funktion erfüllt mehrere Relations Rezidiv.
Die Beziehung unserer Zählen. Funktion mit verschiedenen Klassen von ganzen Zahlen wird dann untersucht. Diese Klassen sind: verschiedene Arten von figurierten Zahlen, die Anzahl der Punkte auf der Oberfläche einer quadratischen Pyramide, die magische Konstanten, die verkürzten Quadratzahlen, die Koeffizienten der Tschebyscheff-Polynome, die Catalan-Zahlen, der Dellanoy Nummern, die Sulanke Nummern ,. Zahlen die Koordination der Sequenzen, und die Anzahl der Crystal Ball-Sequenzen eines kubischen Gitters.
Im letzten Teil des Papiers, beweisen wir, dass verschiedene Konfigurationen werden durch unsere Funktion gezählt. Einige von diesen sind: die Anzahl der übergreifende Untergraphen des vollständigen bipartiten Graphen, die Zahl der Platz mit in einem Quadrat, die Zahl der Färbung der Punkte auf einer Linie, die Anzahl der Teiler von einigen bestimmten Nummern, die Anzahl aller Teile. die Zusammensetzungen der eine ganze Zahl, die Nummern der schwache Kompositionen von ganzen Zahlen, und die Zahl der insbesondere Lattice Pfade.
Wir schließen, indem die Anzahl der möglichen Züge der Turm, Läufer, und die Königin auf einem Schachbrett.
Die meisten Angaben in dem Papier. werden durch bijektive Beweisen in Bezug auf die Einsätze, die in dem Papier festgelegt sind. Damit soll gezeigt werden, dass verschiedene Konfigurationen können durch das gleiche Verfahren gezählt.