ผลงานผลงานทางวิชาการแรกสุดหลายๆ งาน

ผลงาน
ผลงานทางวิชาการแรกสุดหลายๆ งานของอาเบลเกิดขึ้นเมื่อเขามีอายุได้ 21 ปี ซึ่งในนี้รวมไปถึงปัญหาคลาสสิกอย่างปัญหาเทาโทโครเนอ(tautochrone) ซึ่งอาเบลได้เสนอคำตอบจากการสร้างสมการปริพันธ์ (integral equation) ซึ่งเป็นครั้งแรกที่สามารถหาคำตอบในสมการประเภทนี้ได้ และจากผลงานนี้เองที่ส่งผลให้มีการพัฒนาวงการคณิตศาสตร์ในเรื่องสมการปริพันธ์อย่างคึกคักในช่วงปลายของคริสต์ศตวรรษที่ 19 และช่วงต้นของคริสต์ศตวรรษที่ 20
คำตอบในรูปแบบรากของสมการพหุนามอันดับ 5
แต่สำหรับหนึ่งในผลงานที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของอาเบลเกิดในปีค.ศ. 1824 เมื่อเขาสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่มีคำตอบในรูปแบบราก(radical forms) ของสมการกำลัง 5 หรือสมการพหุนามอันดับ 5 เหมือนกับอันดับที่ต่ำกว่าคืออันดับ 2 (พบคำตอบในสมัยกรีก) อันดับ3 และอันดับ4 (พบคำตอบโดยจิโลราโม คาร์ดาโนและลูกศิษย์หลังจากสมัยกรีกประมาณ 2000 ปี) ซึ่งถือได้ว่าอาเบลสามารถแก้ปัญหาทางพีชคณิตที่นักคณิตศาสตร์ชื่อดังอย่างนิวตัน ออยเลอร์ ลากรองช์ และเกาส์รวมถึงท่านอื่นๆ ต่างถกเถียงและพยายามหาคำตอบมา 300 ปีตั้งแต่สมัยของคาร์ดาโนได้สำเร็จ (สำหรับรายละเอียดดู ทฤษฎีบทของอาเบล-รุฟฟินี่)
วารสารคณิตศาสตร์ของเคร็ลเลอร์ (Crelle)
อาเบลได้รับทุนให้ไปศึกษาและทำวิจัยคณิตศาสตร์ที่แถบยุโรปกลาง โดยในปีแรกอาเบลใช้เวลาเกือบทั้งหมดที่เบอร์ลิน ที่นั่นอาเบลได้มีโอกาสรู้จักกับ Crelle ซึ่งขณะนั้นเป็นนักคณิตศาสตร์สมัครเล่น โดยในเวลาถัดมา Crelle เป็นเพื่อนที่ดีสุดจวบจนสิ้นชีวิตของอาเบล อาเบลเป็นแรงบันดาลใจให้ Crelle ริเริ่มวารสารคณิตศาสตร์ "Journal für die Reine und Angewandte Mathematik " (ดูCrelle's Journal) ในราวปี ค.ศ. 1826 ซึ่งเป็นวารสารฉบับแรกที่ไม่ใช่ของมหาวิทยาลับลัยและอุทิศเนื้อหาทั้งหมดให้คณิตศาสตร์ล้วนๆ (Simmons, 1991) โดยใน 3 ฉบับแรกนั้นมีบทความของอาเบลทั้งหมด 22 ชิ้น รวมไปถึงบทพิสูจน์เรื่องสมการกำลัง 5 ที่อาเบลได้ตกแต่งให้เข้าใจง่ายขึ้นอีกด้วย นอกจากนั้นยังมีผลงานที่โดดเด่นอื่นๆ ในวารสาร เช่น
• เรื่องอนุกรมทวินามซึ่งอาเบลได้ให้บทพิสูจน์เรื่องความถูกต้องในการขยายจากฟังก์ชันในรูป ไปเป็นอนุกรมทวินาม โดยพิสูจน์ในรูปแบบคณิตศาสตร์สมัยใหม่ (พิสูจน์แบบเคร่งครัด) และค้นพบรูปแบบทั่วไปของการลู่เข้า (Abel's Test) ซึ่งถือเป็นงานคลาสสิกชิ้นหนึ่งของอาเบล
• เรื่องฟังก์ชันเชิงวงรี(elliptic function) และ hyperelliptic function และกลุ่มของฟังก์ชันชนิดใหม่ที่ต่อมาเรียกว่า ฟังก์ชันอาบีเลียน (Abelian function) ซึ่งเป็นหัวข้อที่มีการทำวิจัยกันอย่างคึกคักในเวลาต่อมา
ความอาภัพของอาเบล
อาเบลได้ส่งผลงานเรื่องสมการพหุนามไปให้เกาส์ที่เกิตติงเกน ด้วยความหวังว่ามันจะแทนหนังสือเดินทางไปสู่เกิตติงเกน อย่างไรก็ตามเกาส์ไม่ได้เปิดจดหมายของอาเบลดูเลย จดหมายที่ยังไม่ได้แกะฉบับนี้ถูกพบในบ้านของเกาส์ในอีก 30 ปีถัดมา อาเบลรู้สึกว่าตนถูกดูแคลนจึงเดินทางต่อไปยังปารีสโดยไม่แวะพบเกาส์ และนี่คงเป็นโชคร้ายของวงการคณิตศาสตร์ที่ทั้งสองคนไม่มีโอกาสร่วมงานกัน
ในปี ค.ศ. 1826 อาเบลได้เดินทางไปยังปารีสเป็นเวลา 10 เดือน ที่นั่นอาเบลได้พบกับนักคณิตศาสตร์ชั้นนำของฝรั่งเศส อาทิเช่น ออกัสติน หลุยส์ โคชี่ เอเดรียน-แมรี เลอจองด์ และ ปีเตอร์ กุสตาฟ ดิริชเลต์ แม้ว่าอาเบลจะมีผลงานมากมายในวารสารของ Creller ก็ตาม แต่เนื่องจากเหล่านักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศสยังไม่รู้จักวารสารฉบับใหม่นี้นัก พวกเขาจึงไม่สนใจอาเบลมากนัก นอกจากนี้ยังเป็นเพราะว่าอาเบลมีนิสัยขี้อาย ไม่ค่อยชอบพูดคุยผลงานของตนให้ผู้อื่นฟังอีกด้วย
หลังจากเขาเดินทางถึงประเทศฝรั่งเศสไม่นาน เขาก็ทำผลงานชื่อ Memoire sur une Propriete Tenerale d'une Classe Tres Etendue des Fonctions Transcendantes ได้สำเร็จ โดยอาเบลภูมิใจงานนี้มากโดยถือว่าเป็นผลงานชิ้นเอก (masterpiece) ในผลงานนี้มีทฤษฎีบทของอาเบลซึ่งเป็นแก่นฐานของ Abelian integrals และ อาบีเลียนฟังก์ชัน ปีเตอร์ กุสตาฟ ยาโคบียกย่องผลงานชิ้นนี้ว่าเป็นการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในแคลคูลัสปริพันธ์ (integral calculus) ในคริสต์ศตวรรษที่ 19 อาเบลส่งผลงานชิ้นนี้ไปที่ French Academy โดยหวังว่าจะได้รับการยอมรับจากเหล่านักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศส แต่แล้วทุกสิ่งทุกอย่างก็เงียบซึ่งทำให้อาเบลต้องตัดสินใจกลับเบอร์ลิน
จริงๆ แล้วเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในตอนนั้นคือ โคชี่และเลอจองด์ถูกมอบหมายให้เป็นผู้ตรวจสอบผลงานของอาเบล แต่ทว่าโคชี่นำมันกลับไปบ้านและด้วยความที่ขณะนั้นโคชี่กำลังทำงานของเขาอยู่อย่างขะมักเขม้น (formalizing/rigourising แคลคูลัส) ทำให้โคชี่วางงานของอาเบลไว้อย่างไม่สนใจและลืมเรื่องนี้ไปในท้ายที่สุด งานชิ้นนี้ของอาเบลถูกตีพิมพ์เมื่อปีค.ศ. 1841 หลังจากที่เขาเสียชีวิตไปแล้วถึง 15 ปี
หลังจากนั้นไม่นาน อาเบลก็ต้องเดินทางกลับบ้านพร้อมด้วยหนี้สิน โดยอาเบลหวังเป็นอย่างยิ่งว่าจะมีตำแหน่งอาจารย์ที่มหาวิทยาลัยในบ้านเกิด แต่ก็เป็นอีกครั้งที่เขาต้องผิดหวัง เขาต้องทนทำงานเป็นครูสอนพิเศษ โดยได้รับเชิญไปสอนในมหาวิทยาลัยเป็นบางครั้งเท่านั้น ในปี ค.ศ. 1829 อาเบลเริ่มป่วยหนักด้วยวัณโรค (ใน (Simmons, 1991) บอกว่าเป็นปอดบวม) และอาการก็กำเริบหนักมากในเดือนเมษายนปีเดียวกัน ในที่สุดอาเบลก็เสียชีวิตด้วยวัยเพียง 26 ปี โดยในช่วงเวลาเดียวกันนั้นความพยายามของ Crelle ประสบผลสำเร็จ โดยเขาสามารถหาตำแหน่งอาจารย์คณิตศาสตร์ให้อาเบลได้ที่เบอร์ลิน แต่จดหมายของ Crelle ก็มาถึงช้าไป 2 วัน อาเบลได้จากไปเสียแล้ว

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 1:

MasterpiecePraxis first several Abel's work occurred when he was 21 years old, which, in this classic problem, including the issue of grey topologies, co ranoe (tautochrone) Abell which offer answers to create equations, integrals (integral equation), which is the first to be answered in this equation and from work as a result of this development in the story of the bustling late example, equations, integrals of the 19th century and the early part of the 20th century.The answer, in the form the root of a polynomial equation # 5.But for one of the greatest works of Abell was born in 1882, 1824, when he can prove that there are no answers in the form of the root (radical forms) are polynomial equations, equation 5 or # 5 is the same as the lower-ranked # 2 (find the answer in modern Greek), the # 3 and # 4 (the answer is found by Jin Lo Raman Mohan. David Carr and disciple after the Greek kopraman 2000 years), which is considered to be the algebra solutions Abel mathematics such as the Newton-Euler and Gauss ong activities including other different debate and try to find the answers in our 300 years since Carlos da Nova has succeeded (for details see Abel's theorem-Roussillon red Tulip here.)Journal of mathematics khrenloe (Crelle) อาเบลได้รับทุนให้ไปศึกษาและทำวิจัยคณิตศาสตร์ที่แถบยุโรปกลาง โดยในปีแรกอาเบลใช้เวลาเกือบทั้งหมดที่เบอร์ลิน ที่นั่นอาเบลได้มีโอกาสรู้จักกับ Crelle ซึ่งขณะนั้นเป็นนักคณิตศาสตร์สมัครเล่น โดยในเวลาถัดมา Crelle เป็นเพื่อนที่ดีสุดจวบจนสิ้นชีวิตของอาเบล อาเบลเป็นแรงบันดาลใจให้ Crelle ริเริ่มวารสารคณิตศาสตร์ "Journal für die Reine und Angewandte Mathematik " (ดูCrelle's Journal) ในราวปี ค.ศ. 1826 ซึ่งเป็นวารสารฉบับแรกที่ไม่ใช่ของมหาวิทยาลับลัยและอุทิศเนื้อหาทั้งหมดให้คณิตศาสตร์ล้วนๆ (Simmons, 1991) โดยใน 3 ฉบับแรกนั้นมีบทความของอาเบลทั้งหมด 22 ชิ้น รวมไปถึงบทพิสูจน์เรื่องสมการกำลัง 5 ที่อาเบลได้ตกแต่งให้เข้าใจง่ายขึ้นอีกด้วย นอกจากนั้นยังมีผลงานที่โดดเด่นอื่นๆ ในวารสาร เช่น• Rueangonukrom the binomial theorem, which has given the story of Abel in the extension of the function in the image to the binomial. By proving in the style of modern mathematics (proof strict style) and find a common format of convergence (Abel's Test), which is regarded as a classic piece of work by one of Abel.• Linear function subject ellipse (elliptic function), and hyperelliptic function and the function's new group, later called the abilian function (Abelian function), which is a topic that has been researched widely flurry at a later time.Abell's hapless capabilitiesAbel polynomial equation has a story submission to, the Gauss koet Ting O'Rourke. With the hope that it will replace the Passport to cross-examine koet O'Rourke. However, Gauss did not open the letters of Abell view now. The letter has not yet been found in the House, this edition of the sheep of the Gauss 30 2004. Abell feeling that they are watching a clan is to visit Paris without Gauss found. And the industry's bad luck that the two men did not have the opportunity to work together.In the years 1826 Abell has traveled to Paris for a period of 10 months there, Abel met with France's leading mathematician such as Augustine Louise co Mary Le Qi chong and Adrian-Peter Gustav di innovator of chale, although there will be many works in the Abell magazine but because these Creller mathematician, France still does not recognize the new student magazine. They are therefore not interested much Abel. It is also because the Abell rarely shy personalities like talk of their works well to others.After his arrival in the country in France not long. He was doing the name Tenerale sur une Memoire d'une Classe Tres Propriete Etendue Fonctions des Transcendantes successfully. Very proud of this work, by Abell is considered a masterpiece (masterpiece) in works of Abell's theorem, which is a staple of Abelian integrals and base abilian Peter Gustav function. Jacob b praised this masterpiece is said to be the greatest discovery in calculus integrals (integral calculus) in the 19th century this work was sent to the Abell French Academy by the hope that it will be accepted by France, but the mathematician then everything it needs, which makes the decision to return to Berlin, Abel.Actually, the events that occurred in that moment is the qi and Le chong was assigned to monitor the work of Abel. Unfortunately, no co Chi brings it back to the House and then at the co's are working for Chi he is khamakkhamen. (Formalizing/rigourising calculus). Makes your koda work Abell Qi safely ignore and forget about this, go in the end. This piece of Abell was published in 1841, after his death, and then to 15 years.หลังจากนั้นไม่นาน อาเบลก็ต้องเดินทางกลับบ้านพร้อมด้วยหนี้สิน โดยอาเบลหวังเป็นอย่างยิ่งว่าจะมีตำแหน่งอาจารย์ที่มหาวิทยาลัยในบ้านเกิด แต่ก็เป็นอีกครั้งที่เขาต้องผิดหวัง เขาต้องทนทำงานเป็นครูสอนพิเศษ โดยได้รับเชิญไปสอนในมหาวิทยาลัยเป็นบางครั้งเท่านั้น ในปี ค.ศ. 1829 อาเบลเริ่มป่วยหนักด้วยวัณโรค (ใน (Simmons, 1991) บอกว่าเป็นปอดบวม) และอาการก็กำเริบหนักมากในเดือนเมษายนปีเดียวกัน ในที่สุดอาเบลก็เสียชีวิตด้วยวัยเพียง 26 ปี โดยในช่วงเวลาเดียวกันนั้นความพยายามของ Crelle ประสบผลสำเร็จ โดยเขาสามารถหาตำแหน่งอาจารย์คณิตศาสตร์ให้อาเบลได้ที่เบอร์ลิน แต่จดหมายของ Crelle ก็มาถึงช้าไป 2 วัน อาเบลได้จากไปเสียแล้ว

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 3:

Works.The earliest several academic works The task of Abel happened when he was 21 years. In which this including classic issues like tautochrone (tautochrone). The Abel proposed the answer from the integral equation (integral equation) which is the first time that can find the answer in this type of equation. And from this work that resulted in the development of math circles in the end of คึกคักใน integral equation as 19 century and early of 20 century. "The answer in the form of the root of the polynomial equation, the 5But for one of the greatest contribution of Abel was born in 1979. 1824 when can he proves that answer in the form of the root (radical. Forms) of the equation is 5 or polynomial equation 5 like rank rank lower number 2 (figure in Greek) rank 3 rank and 4. (find the answer by Ji Lo Ramos. Cardano and disciples after the Greek about 2000 years). Which can be considered Abel can solve the algebra that famous mathematician as Newton oil cooler ลากรองช์ and Gauss includes other Arsenal, and try to find out 300 years since the days of the card, do no success. (for details, see, the theorems of Abel - ruff fin that).Journal of mathematics of K ร็ล Fuller (Crelle).Abel received a scholarship to study and do research mathematics bar central Europe. The first year Abel spent almost all Berlin. There have a chance to know Abel Crelle which at that time was amateur mathematicians by time in ถัดมา Crelle best friend until the death of Abel. Abel inspired Crelle initiative mathematics journal. "Journal f v r die Reine und Angewandte Mathematik" (see Crelle "s Journal). In around the year AD 1826, which is the first journal"s Secret University College and dedicate all content to pure mathematics, (Simmons 1991). In the first edition that 3 articles of Abel all 22 pieces. The proof of analysis 5 at Abel decorated make it easy to understand. There were also other outstanding journals such asEducation about binomial series which Abel gave proof of correctness in extending from the function in the photo to a binomial series by proof in the form of modern mathematics.