Proof. Assume that x2 − 3xy + y2 +

Proof. Assume that x
2 − 3xy + y
2 + x = 0 for some positive integers x and y. Then by Theorem 2.1, x = u
2
and y = uv for
some positive integers u and v. Then it follows that u
4−3u
3v+u
2v
2+u
2 = 0, which implies that u
2−3uv+v
2+1 = 0. That
is, u
2 − 3uv + v
2 = −1. By Theorem 1.6, it follows that (u, v) = (F2n+1, F2n−1) or (u, v) = (F2n−1, F2n+1) with n ≥ 0. This
shows that (x, y) = (F
2
2n+1
, F2n+1F2n−1) or (x, y) = (F
2
2n−1
, F2n−1F2n+1) with n ≥ 0. Conversely, if(x, y) = (F
2
2n+1
, F2n+1F2n−1)
or (x, y) = (F
2
2n−1
, F2n−1F2n+1) with n ≥ 0, then from Theorem 1.6, it follows that x
2 − 3xy + y
2 + x = 0.
R. Keskin / Computers and Mathematics with Applications 60 (2010) 2225–2230 2227
Now we can give the following theorem and corollary. Since their proofs are similar, we omit them.

ผลลัพธ์ (เยอรมัน) 1:

Beweis. voraussetzen, dass x2 − 3xy + y2 + X = 0 für einige positiven ganze Zahlen X und y., dann nach Theorem 2.1, X = u2.und y = uv fürEinige positiven ganze Zahlen Sie und dann daraus, dass u folgt v.4−3U3V + u2V2 + u2 = 0, was, dass u bedeutet2−3uv + v2 + 1 = 0.,ist, u2 − 3uv + v2 = −1. von Theorem 1.6, daraus folgt, dass (u, V) = (F2n + 1, F2n−1) oder (u, V) = (F2n−1, F2n + 1) mit n ≥ 0. Dieszeigt, dass (x, y) = (F2.2n + 1F2n + 1F2n−1) oder (x, y) = (F2.2n−1F2n−1F2n + 1) mit n ≥ 0. umgekehrt If(x, y) = (F2.2n + 1F2n + 1F2n−1)oder (x, y) = (F2.2n−1F2n−1F2n + 1) mit n ≥ 0, dann von Theorem 1.6, daraus folgt, dass x2 − 3xy + y2 + X = 0. R. Keskin / Computer und Mathematik mit Anwendungen 60 (2010) 2225 – 2230 2227Jetzt geben wir können die folgenden Theorem und Korollar. da ihre Beweise ähnlich sind, lassen wir ihnen.

ผลลัพธ์ (เยอรมัน) 2:

Beweis. Angenommen, x
2 - 3xy + Y
2 + x = 0 für einige positive ganze Zahlen x und Y. Dann ist nach Satz 2.1, u x =
2
und Y = uv für
einige positive ganze Zahlen u und v. Dann folgt, dass u
4-3u
3V u +
2 V
2 + u
2 = 0, was bedeutet, dass u
+ v 2-3uv
2. 1 = 0. Das
ist, u
2 - v 3uV +
2 = -1. Nach Satz 1.6 folgt, dass (u, v) = (1 + F2n, F2n-1) oder (u, v) = (1-F2n, F2n + 1) mit n ≥ 0. Dies
zeigt, dass (x, Y. ) = (F
2
2n + 1
, + F2n 1F2n-1) oder (x, y) = (F
2
2n-1
, F2n-1F2n + 1) mit n ≥ 0. Umgekehrt, wenn (x, y) = (. F
2
2n + 1
, F2n + 1F2n-1)
oder (x, y) = (F
2
2n-1
, F2n-1F2n + 1) mit n ≥ 0 ist, dann von Theorem 1.6 folgt, daß x
2 - 3xy +. Y
2 + x = 0.
R. Keskin / Computer und Mathematik mit Anwendungen 60 (2010) 2225-2230 2227
Jetzt können wir den folgenden Satz und logische Folge geben. Da ihre Beweise ähnlich sind, lassen wir sie.