คำศัพท์คณิตศาสตร์ทศนิยมซ้ำ คือจำนวน

คำศัพท์คณิตศาสตร์
ทศนิยมซ้ำ คือจำนวนตรรกยะอย่างหนึ่งในเลขฐานสิบ ที่มีตัวเลขบางชุดปรากฏซ้ำกันโดยไม่สิ้นสุด ซึ่งการซ้ำของตัวเลขอาจเกิดขึ้นก่อนหรือหลัง หรือคร่อมจุดทศนิยม และชุดตัวเลขที่ซ้ำกันอาจจะมีเพียงแค่ตัวเลขตัวเดียวก็ได้ ตัวอย่างเช่น 1/3 = 0.333333... (อ่านว่า ศูนย์จุดสาม สามซ้ำ)

สำหรับทศนิยมที่เขียนให้เลข 0 ตัวสุดท้ายซ้ำกันไปเรื่อยๆ ไม่ถือว่าเป็นทศนิยมซ้ำ เนื่องจากตำแหน่งของทศนิยมจะสิ้นสุดก่อนถึงเลข 0 ตัวสุดท้าย เพราะการเติมเลข 0 ซ้ำกันไปเรื่อยๆ นั้นไม่มีความจำเป็น คือไม่ทำให้ค่าของตัวเลขเปลี่ยนแปลงไปจากเดิม เช่น 0.56000000... = 0.56

ในกรณีพิเศษอย่างหนึ่งของทศนิยมซ้ำที่ไม่จำเป็น แต่บางครั้งก็มีประโยชน์ นั่นคือการซ้ำของเลข 9 เพียงตัวเดียว ซึ่งเลข 9 ที่ซ้ำทั้งหมดสามารถละทิ้งได้และเพิ่มค่าหลักที่อยู่ก่อนหน้าขึ้นไปหนึ่ง เช่น 0.999999... = 1 หรือ 1.77999999... = 1.78 โดยทั่วไปแล้ว รูปแบบการซ้ำของเลข 9 ใช้อธิบายว่าจำนวนมีที่มาอย่างไร หรือเพื่อแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ที่น่าสนใจ อาทิ 1 = 3/3 = 3 × 1/3 = 3 × 0.333333... = 0.999999... ดูเพิ่มที่ 0.999...

ทศนิยมในประเภทอื่นมี ทศนิยมรู้จบ และทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ

ทศนิยมรู้จบ คือจำนวนตรรกยะที่สามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนอย่างต่ำในรูปแบบ ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม และตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์
ทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ คือจำนวนอตรรกยะ ซึ่งไม่สามารถเขียนแทนด้วยอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้
เนื้อหา  [ซ่อน] 
1 สัญกรณ์
2 เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะ
3 การสร้างเศษส่วนจากทศนิยมซ้ำ
3.1 วิธีลัด
4 แหล่งข้อมูลอื่น
สัญกรณ์[แก้]
ในการเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปแบบที่อ่านง่าย ทำได้โดยการเติมขีดแนวนอน (vinculum) ไว้เหนือกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำกัน เช่น หรือเติมจุดไว้เหนือกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำ ในตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้าย เช่น อย่างไรก็ตาม การใช้จุดประ 3 จุด (…) เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการนำเสนอทศนิยมซ้ำ ถึงแม้ว่ายังไม่มีคำแนะนำว่าจะต้องเขียนชุดเลขที่ซ้ำมาก่อนกี่ครั้ง ตัวอย่างเช่น

1/9 = 0.111111111111…
1/7 = 0.142857142857…
1/3 = 0.333333333333…
1/81 = 0.0123456790…
2/3 = 0.666666666666…
7/12 = 0.58333333333…
ในแถบยุโรปมีการใช้สัญกรณ์อย่างอื่นที่ต่างออกไป คือใช้เครื่องหมายวงเล็บล้อมรอบชุดตัวเลขที่ซ้ำ เช่น

2/3 = 0. (6)
1/7 = 0. (142857)
7/12 = 0.58 (3)
เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะ[แก้]
ในเศษส่วนอย่างต่ำที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะหนึ่งจำนวน p ที่นอกเหนือจาก 2 และ 5 (ซึ่งเป็นคู่จำนวนเฉพาะของ 10) จะมีค่าเป็นทศนิยมซ้ำเสมอ ซึ่งช่วงของการซ้ำในตัวเลขของ 1/p จะอยู่ที่ p − 1 (เป็นกลุ่มที่หนึ่ง) หรือเท่ากับตัวหารตัวใดตัวหนึ่งของ p − 1 (เป็นกลุ่มที่สอง) อย่างใดอย่างหนึ่ง

ตัวอย่างเศษส่วนในกลุ่มแรกมีดังนี้

1/7 = 0.142857…; 6 หลักซ้ำกัน
1/17 = 0.0588235294117647…; 16 หลักซ้ำกัน
1/19 = 0.052631578947368421…; 18 หลักซ้ำกัน
1/23 = 0.0434782608695652173913…; 22 หลักซ้ำกัน
1/29 = 0.0344827586206896551724137931…; 28 หลักซ้ำกัน
ซึ่งรวมไปถึงเศษส่วน 1/47, 1/59, 1/61, 1/97, 1/109 ฯลฯ

การคูณบนเศษส่วนในกลุ่มที่หนึ่ง ได้แสดงคุณสมบัติพิเศษอย่างหนึ่งที่น่าสนใจ เช่น

2/7 = 2 × 0.142857… = 0.285714…
3/7 = 3 × 0.142857… = 0.428571…
4/7 = 4 × 0.142857… = 0.571428…
5/7 = 5 × 0.142857… = 0.714285…
6/7 = 6 × 0.142857… = 0.857142…
ซึ่งดูเหมือนว่า ตัวเลขที่ซ้ำกันในผลคูณจะได้มาจากการเลื่อนวนของ 1/7 แต่สาเหตุที่ทำให้เกิดพฤติกรรมการเลื่อนวนนั้นมาจากการคำนวณเลขคณิตในตัวเลขหลังทศนิยมเท่านั้น ซึ่งเศษส่วนในกลุ่มที่หนึ่งตัวอื่นๆ เช่น 1/17, 1/19, 1/23 ฯลฯ จะมีคุณสมบัติพิเศษเหล่านี้ด้วยเช่นกัน

เศษส่วนในกลุ่มที่สอง คือเศษส่วนที่นอกเหนือจากกลุ่มที่หนึ่งตามเงื่อนไขในตอนต้น อาทิ

1/3 = 0.333…; 1 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 1 เป็นตัวหารของ 2
1/11 = 0.090909…; 2 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 2 เป็นตัวหารของ 10
1/13 = 0.076923…; 6 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 6 เป็นตัวหารของ 12
โปรดสังเกตว่า การคูณเศษส่วน 1/13 ก็สามารถเกิดการเลื่อนวนในตัวเลขที่ซ้ำกัน และจะแบ่งออกเป็นสองชุด ชุดแรกได้แก่

1/13 = 0.076923…
3/13 = 0.230769…
4/13 = 0.307692…
9/13 = 0.692307…
10/13 = 0.769230…
12/13 = 0.923076…
และอีกชุดหนึ่งได้แก่

2/13 = 0.153846…
5/13 = 0.384615…
6/13 = 0.461538…
7/13 = 0.538461…
8/13 = 0.615384…
11/13 = 0.846153…
การสร้างเศษส่วนจากทศนิยมซ้ำ[แก้]
บนทศนิยมซ้ำใดๆ สามารถคำนวณเพื่อเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ดังตัวอย่าง


หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง


และเมื่อทศนิยมซ้ำสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ทศนิยมซ้ำจึงเป็นจำนวนตรรกยะเสมอ

วิธีลัด[แก้]
ถ้าทศนิยมซ้ำมีค่าอยู่ระหว่าง 0.1 ถึง 1 และมีตัวเลขที่ซ้ำกันเป็นจำนวน n หลักทางขวาของจุดทศนิยม เราจะเขียนเศษส่วนได้โดยให้ตัวเศษเป็นชุดของตัวเลขที่ซ้ำ และเติมตัวส่วนเป็นเลข 9 จำนวน n ตัว เช่น

0.444444… = 4/9 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "4" ซึ่งมี 1 หลัก
0.565656… = 56/99 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "56" ซึ่งมี 2 หลัก
0.789789… = 789/999 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "789" ซึ่งมี 3 หลัก
ถ้าทศนิยมซ้ำมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 0.1 และมีเพียงเลข 0 จำนวน k หลัก นำหน้าชุดเลขซ้ำ n หลัก (ทั้งหมดต้องอยู่ทางขวาของจุดทศนิยม) ดังนั้นตัวเศษจะเป็นชุดเลขซ้ำ และตัวส่วนประกอบด้วยเลข 9 จำนวน n ตัว และเพิ่มเลข 0 จำนวน k ตัวลงไปด้วย เช่น

0.000444… = 4/9000 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "4" และนำด้วย "0" จำนวน 3 หลัก
0.005656… = 56/9900 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "56" และนำด้วย "0" จำนวน 2 หลัก
0.0789789… = 789/9990 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "789" และนำด้วย "0" จำนวน 1 หลัก
สำหรับทศนิยมอื่นที่นอกเหนือจากนี้ สามารถเขียนเป็นการบวกของทศนิยมรู้จบ กับทศนิยมซ้ำในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งดังที่กล่าวไว้แล้ว ดังตัวอย่าง

1.23444… = 1.23 + 0.00444… = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
0.3789789… = 0.3 + 0.0789789… = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665
อย่างไรก็ตาม การใช้วิธีลัดจะยังไม่ให้ผลเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ซึ่งจะต้องทำการลดทอนต่อไปด้วยตัวเอง

หมายเหตุ 0.999999999 ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ยกเว้นส่วนหนึ่ง

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 1:

Math vocabularyRepeating decimals are rational numbers in decimal with numbers, some women appear duplicated without end that duplicate numbers may occur before or after the decimal point, and a cross or the duplicate numbers may be just a single digit only. For example, 1/3 = 0.333333 ... three point zero (read. Three repeats)For example, the decimal number from 0 to the last write is not unique to just be treated as decimal, decimal positions because duplicates will end before the last number 0, because completing the number 0 is not unique so it is not necessary is not made up of a number of changes from the original, such as 0.56000000 ... = 0.56.In the special case of unnecessary repeated decimal, but sometimes it can be useful, it is only one of the 9 number 9 number in which all the duplicate can be discarded and add up to one or more preceding principles such as 1.77999999 or 1 = 0.999999 ... ... = 1.78 in General. The format of the number 9 is used to describe how many are coming, however, or to illustrate an interesting relationships, such as 1 = 3/3 = 3 × 1/3 = 3 × 0.333333 ... = 0.999999 ... see 0.999 ...There are other types of decimals in integer, decimal, decimal and endlessly unique.Decimals is the number of studies the rational knowledge can be represented by minimum fractions written in formats that the numerator and denominator are integers, and the denominator is equal to zero.Non-repeating decimal endlessly is irrational, which can't be written instead by the ratio of two integers.Contents [Hide] 1 notation2 the fraction with the denominator as a specific amount.3 create a fraction from repeating decimal3.1 how to shortcut.4 other sourcesNotation [solved]To write the decimal repeats, in easy-to-read format. To do this, fill the horizontal tick (vinculum) above duplicate numbers, such as group or a dot above the numeric group duplicates. At the beginning and end, however, the use of dots 3 dots (...) is the easiest way to repeating decimal presentations. Although there is no suggestion that the repeat number set must be written before a few times. For example,1/9 = 0.111111111111 ...1/7 = 0.142857142857 ...1/3 = 0.333333333333 ...1/81 = 0.0123456790 ...2/3 = 0.666666666666 ...7/12 = 0.58333333333 ...In Europe there are other notation is used differently. Is to use parentheses around the set of digits that repeat, such as?2/3 = 0. (6)1/7 = 0. (142857)7/12 = 0.58 (3)A fraction whose denominator is the number of only 850.In a fraction, the denominator is the number is low, only one of the 2 p and 5 (which is double the number of 10 's) is always a repeating decimal, which range in the figures of 1/p is p − 1 (the one) or equivalent to one denominator of p − 1 (this is the second group) one.For example the fraction in the first group are as follows:1/7 = 0.142857 ... 6; Duplicate master1/17 = 0.0588235294117647 ...; 16 Duplicate master1/19 = 0.0526315789473684 ...; 18 Duplicate master1/23 = 0.0434782608695652 ...; 22 Duplicate master1/29 = 0.0344827586206897 ...; 28 Duplicate masterThe fraction 1/47, 1/1/59, 61, 109, 1/1/97, etc.Multiplying fractions is one of the groups on the displayed one of the special features of interest, such as.2/7 = 2 × 0.285714 = 0.142857 ... ...3/7 = 3 × 0.428571 = 0.142857 ... ...4/7 = 4 × 0.571428 = 0.142857 ... ...5/7 = 0.142857 × 5 ... = 0.714285 ...6/7 = 0.142857 × 6 ... = 0.857142 ...Which seems to duplicate numbers in the product is derived from the moving loop of 1/7, but why cause the behavior to move the cycle comes from arithmetic in decimal digits only. Which fraction in a group that one of the other options, such as 1/17, 1/19, 1/23, etc. will have these special properties as well.In the second group, the fraction is a fraction that, apart from the group, one of the conditions in the beginning, such as.1/3 = 0.333 ...; 1 Duplicate master, a Division 1 of 21/11 = 0.090909 ... 2; Duplicate master 2, which is a division of 10.1/13 = 0.076923 ...; 6 Duplicate master which is 6 a divisor of 12.Note that multiplying fractions 1/13 was able to move a loop in the duplicate numbers and are divided into two sets. The first set are as follows:1/13 = 0.076923 ...3/13 = 0.230769 ...4/13 = 0.307692 ...9/13 = 0.692307 ...10/13 = 0.769230 ...12/13 = 0.923076 ...And another one:2/13 = 0.153846 ...5/13 = 0.384615 ...6/13 = 0.461538 ...13/7 = 0.538461 ...8/13 = 0.615384 ...11/13 = 0.846153 ...To create a repeating decimal fraction from 850.On any repeated decimal can be calculated to be changed in a fraction. So, for example,Or another exampleAnd when repeating decimal can be written as a fraction. Repeating decimals, rational numbers, it is always.Shortcut method [solved]If the repeating decimal value between 0.1 to 1 and the number of duplicate numbers n digits to the right of the decimal point. We will write a fraction, the numerator by a series of numbers that repeats, and the denominator is the number 9. n.0.444444 ... = 4/9 due to the unique number series is "4", which has a 1.0.565656 ... = 56/99, because the collection is a unique number "56" with 2.0.789789 ... = 789/999 because a duplicate number series is parent with 3 "789"If the repeating decimal between 0 and 0.1 and 0 number of k digits is preceded the main set of n unique number (all must be located to the right of the decimal point) Thus, the numerator is the repeat number set and the components with 9 number number number number n and k with 0 down.0.000444 ... = 4/9000 series, repeat figures because it is "4", and with "0" number 3.0.005656 ... = 56/9900 Series is duplication because of the number "56" and with "0" number 2.0.0789789 ... = 789/9990 series is duplication because of the number "0" and the heartfelt "789" number 1.For this other than decimal can be written as the sum of the decimal a decimal with end-to-end knowledge in one of the formats described. So, for example,1.23444 ... = + 1.23 0.00444 123/4 + 100 = .../900 = 1107/900 + 4 = 1111/900/900.0.3789789 ... = 0.3 + 0.0789789 = 3/10 ... + = 9990 9990/2997/789 + 789/9990 9990/3786 unreserved = 631/1665.However, using the shortcut method will not result in a minimum fraction, which must continue to degrade by itself.Note that 0.999999999 cannot be written as a fraction, except one.

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 2:

Vocabulary, math
repeating decimal The rational one in hexadecimal. Some numbers are repeated without end. The repetition of the numbers may take place before or after. Or straddling the decimal point And a unique set of numbers might be just the one example, 1/3 = 0.333333 ... (read as zero point three three iterations) for the decimal number 0 is written to duplicate last indefinitely. Not a recurring decimal Due to the location of places will end before the end because of the addition of the No. 0 0 unique indefinitely. It is not necessary Is not the number of changes from the original, such as 0.56000000 ... = .56 Special, one of the unique places that are not necessary. But sometimes it is useful That is the repetition of a single No. 9, No. 9, which is totally unique and can not abandon the core values ​​that are added to the previous one, such as one or 0.999999 ... = 1.77999999 ... = 1.78 general. The unique format of the No. 9 explain how many are coming. Or to demonstrate such a relationship interesting 1 = 3/3 = 3 × 1/3 = 3 × 0.333333 ... = 0.999999 ... See ... 0.999 places in all other places to finish. and endless places unique places to finish. Is rational that can be represented by a fraction at least in form. The numerator and denominator are integers. And the denominator is zero endless unique places. Is irrational Which can not be denoted by a ratio of two integers have Contents [hide]  1 notation of the two fractions with a specific number three. To create a repeating decimal fractions of 3.1 shortcuts four other sources notation [edit] Writing a recurring decimal in the form of easy to read. By adding Horizontal (vinculum) over the number of duplicate or complement the above example, the repeating numbers. In the start position and end position, such as the use of the three dots (...) is the easiest way to present the recurring decimal. Although there is no suggestion that I would have to write over a set number of times before. For example, 1/9 = 0.111111111111 ... 1/7 = 0.142857142857 ... 1/3 = 0.333333333333 ... 1/81 = 0.0123456790 ... 2/3 = 0.666666666666 ... 7/12 = 0.58333333333 ... in Europe, with the notation otherwise. The different Is using braces surround a set number repeatedly, such as 2/3 = 0. (6) 1/7 = 0. (142 857) 7/12 = 0.58 (3) with a fractional part of a number of specific [the recommendations] in a fraction. At least that is the only one of a number of p other than 2 and 5 (which is double the number of 10) will always be a recurring decimal. This range of unique in the number of 1 / p is p - 1 (group A) or the denominator, one of p - 1 (the second group), one sample fractions in the first group. are as follows: 1/7 = 0.142857 ...; 6-digit unique .0588235294117647 1/17 = ...; 16-digit unique .052631578947368421 1/19 = ...; 18-digit unique 0.0434782608695652173913 1/23 = ...; 22-digit unique 1/29. 0.0344827586206896551724137931 ...; 28-digit unique , including fractions, 1/47, 1/59, 1/61, 1/97, 1/109, and multiplying fractions in the one group. One special feature is interesting as 2/7 = 2 × 0.285714 .142857 ... ... = 3 × 3/7 = .142857 .428571 ... ... = 4/7 = 4 × .142857 .571428 ... ... = 5/7 = 5 × .142857. = 0.714285 ... ... ... = 6/7 = 6 × 0.142857 .857142 ... which, it seems. The duplicate numbers on the product will be promoted from the seventh, but the cause of the behavior of the drop came from the figures after the decimal arithmetic calculations only. The group, all the other fractions such as 1/17, 1/19, 1/23, etc., will have these special features like a fraction of a second. Is fractions in addition to the one stated in the beginning, such as 1/3 = 0.333 ...; one core duplicate, which one is the denominator of the two 1/11 = 0.090909 ...; two main unique which 2 is a divisor of 10. 1/13 = 0.076923 ...; 6-digit unique as the denominator of which 6. 12 Note that 1/13 multiplication of fractions, it can cause a drop in the number of duplicates. And is divided into two sets. The first set include = 0.076923 ... 1/13 ... 3/13 = 0.230769 0.307692 ... 4/13 = 9/13 = 0.692307 ... 10/13 = 0.769230 ... 12/13 = 0.923076 ... and another set including 2/13 = 0.153846 ... = 0.384615 ... 5/13 ... 6/13 = 0.461538 0.538461 ... 7/13 = 8/13 = 0.615384 ... 11/13 = 0.846153 ... to create a repeating decimal fractions from [Edit] on any recurring decimal. The change can be calculated in fractions. For example or another example , and can be written in a repeating decimal fractions. Repeating decimal is always rational shortcut [change] If the repeating decimal value between 0.1 to 1 and n is the number of unique numbers to the right of the decimal point. We will write fractions obtained by the numerator is the number of repeats. And fill the No. 9 n elements such as 4/9 = 0.444444 ... is unique because the number "4", which is one of the series, No. 56/99 = 0.565656 ... repeatedly is "56", which has two main 0.789789 .... The 789/999 series is individually numbered "789," which has three main If the repeating decimal value between 0 and 0.1, and only 0 k digit number preceded repeat n-digit number (all to the right of the decimal point), so. The chip will be a unique number. And consists of No. 9 0 n and increasing the number down to as k = 0.000444 ... No. 4/9000, since repetition is "4" and the "0" key 3 = 0.005656 ... since 56/9900. The series is individually numbered "56" and a "0" two-digit number 0.0789789 ... = 789/9990 is unique because the number "789" and a "0" The number one key for places other than this. Can be positive places to finish. A recurring decimal in any form, as already mentioned. Examples : 0.00444 1.23444 ... = 1.23 ... = 123/100 + 4/900 + 4/900 = 1111/900 1107/900 = 0.3789789 + 0.0789789 ... = 0.3 ... = 3/10 = 2997/9990 + 789 + 789/9990. / 9990 = 3786/9990 = 631/1665 , however. Using shortcuts will not work as irreducible fraction. It is to be reduced further by yourself Note 0.999999999 not be written as fractions. Except for the part

ผลลัพธ์ (อังกฤษ) 3:

The vocabulary of mathematics
.Repeating decimal is rational one in number. With some figures series is repeated without end. The repetition of numbers may occur before or after or straddle the decimal point.For example, 1 / 3 = 0.333333... (pronounced zero point three, three replications)

.For decimal number 0 wrote last again and so on. Not considered a non-singular matrix. Because the position of the decimal number will end before the last 0 because adding number 0 repeat it louder. Isn't necessary.Such as 0.56000000... =? 0.56

in the case of a special kind of non-singular matrix, unnecessary, but sometimes, it is useful that is repeated a number of 9 only, which number 9 repeated can all be abandoned and add value to the main address before or above one. Such as 0.999999... = 1 or 1.77999999... = 1.78 generally form duplicates of 9 explain that the number is how? Or to demonstrate the relationship between attractions such as the 1 = 3 / 3 = 3 × 1 / 3 = 3 × 0.333333... = 0.999999... See more 0.999...

.In the other category is decimal decimal infinite decimal endlessly and unique

decimal know end. Is a rational number can be represented by a irreducible fraction in the form. The numerator denominator and as integer. And the denominator is not equal to zero
.Infinite decimal unique is the irrational number. Which cannot be represented by a ratio of two integers%
content. "[hidden])

2 เศษส่ 1 notation of with the denominator are prime
3. To create a shortcut 3.1 fraction from repeating decimal

.4 other sources
notation [solve]
.In writing a non-singular matrix in a easy to read it by adding horizontal stroke (vinculum) over a group of numbers, duplicate, such as or more points over the figures again. In the starting position and the final position, such as, however.3 points (...) is the easiest way to present non-singular matrix. Although there is no suggestion to write a series number twice before a few times. For example,
.
1 / 9 = 0.111111111111...
1 / 7 = 0.142857142857...
1 / 3 = 0.333333333333...
1 / 81 = 0.0123456790...
2 / 3 = 0.666666666666...
7 / 12 = 0.58333333333...
in Europe have used other notation ที่ต่าง out. The brackets around a series of numbers are repeated, such as

2 / 3 = 0. (6)
1 / 7 = 0. (142857)
7 / 12 = 0.58 (3)
.A fraction with the denominator are prime [solve]
.Irreducible fraction with the denominator is prime number one in the P beyond and 2 5 (which is คู่จำนวนเฉพาะ of 10) is a repeating decimal. The range of repetition in a number of 1 / P is p − 1 (group one).P − 1 (second group) one
.
sample fraction in the first group are as follows:

1 / 7 = 0.142857...; main 6 unique
1 / 17 = 0.0588235294117647...; main 16 unique
1 / 19 = 0.052631578947368421...; main 18 unique
1 / 23. = 0.0434782608695652173913...; main 22 unique
1 / 29 = 0.0344827586206896551724137931...; main 28 unique
including fractions, 1 / 47. 1 / 59 1 / 61,,1 / 97 1 / 109 etc.,

multiplication on the fraction in the first group Show that one interesting features, such as

2 / 7 = 2 × 0.142857... = 0.285714...
3 / 7 = 3 × 0.142857... = 0.428571...
4 / 7 = 4 * 0.142857... = 0.571428...
5 / 7 = 5 × 0.142857... = 0.714285...
6 / 7 = 6 × 0.142857... = 0.857142...
.Which looks like Duplicate numbers in the product are derived from Valenciennes of 1 / 7 but causes เลื่อนวน behavior from calculation arithmetic in the numbers behind the decimal. The fraction in one group and other such as 1 / 17 1 / 19,,1 / 23 etc., it has the special features of these too

a fraction of a second group. Is the fraction than one group according to in the beginning, such as

1 / 3 = 0.333...; main 1 duplicate, which 1 is a division of 2
1 / 11. 0.090909...;The main 2 duplicate, which 2 is a division of 10
1 / 13 = 0.076923...; main 6 duplicate, which 6 is a division of 12
note that multiplication of fraction. 1 / 13 can happen Valenciennes in duplicate numbers and is divided into two series, the first such

1 / 13 = 0.076923…
3 / 13 = 0.230769...
.4 / 13 = 0.307692...
9 / 13 = 0.692307...
10 / 13 = 0.769230...
12 / 13 = 0.923076...
and one including

2 / 13 = 0.153846...
5 / 13 = 0.384615...
6 / 13. = 0.461538...
7 / 13 = 0.538461...
8 / 13 = 0.615384...
11 / 13 = 0.846153...
creation from the repeating decimal fraction [Edit]
.On any non-singular matrix Can calculate the change in the form of a fraction. Example,





or another example when non-singular matrix can be written in the form of a fraction. Repeating decimal is rational always

a shortcut [solve]
.If the repeating decimal ranged between 0.1 to 1 and duplicate numbers were the main n to the right of the decimal point. We will write a fraction by the numerator is a set of numbers are repeated and fill the denominator is the number of N 9, such as

0.444444... = 4 / 9 due to repeated series number is "4" which has the main 1
0.565656... = 56 / 99 due to repeated series number is "56" which has the main 2
0.789789... = 789 / 999 due to repeated series number is "789", which is the main 3
If non-singular matrix was between 0 to 0.1 and only the number of K 0 main series number prefix repeated N main (all needs to be to the right of the decimal point). So the numerator is a set number times and denominator consists of number of N 9, and increase the number of K 0 down, such as

0.000444... = 4 / 9000 due to repeated series number is "4" and the "0" and the main 3
0.005656... = 56 / 9900 due to repeated series number is "56" and lead. "0" and the main 2
0.0789789... = 789 / 9990 due to repeated series number is "789" and the "0" and the main 1
.For other decimal addition. Can be written as a positive decimal know the end. With the repeating decimal in any form, as already mentioned, for example

1.23444... = 1.23 0.00444... = 123 / 100 4 / 900 = 1107 / 900. 4 / 900 = 1111 / 900
0.3789789... = 0.3 0.0789789... = 3 / 10 789 / 9990 = 2997 / 9990 789 / 9990 = 3786 / 9990 = 631 / 1665
however. The use of a shortcut to still do not effect is irreducible fraction. The need to lessen the next myself

note 0.999999999 cannot write a fraction, except for the part.